Theorem kmlem2 8973

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem2	|- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, ph   x, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)

Proof of Theorem kmlem2

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 3808	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( z i^i y ) = ( z i^i v ) )
2	1	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( w e. ( z i^i y ) <-> w e. ( z i^i v ) ) )
3	2	eubidv 2490	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( E! w w e. ( z i^i y ) <-> E! w w e. ( z i^i v ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( y = v -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( y = v -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) ) )
6	5	cbvexv 2275	. . 3 |- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> E. v A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) )
7		indi 3873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z i^i ( v u. { u } ) ) = ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) )
8		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. x -> z C_ U. x )
9	8	ssneld 3605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. x -> ( -. u e. U. x -> -. u e. z ) )
10		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z i^i { u } ) = (/) <-> -. u e. z )
11	9, 10	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. x -> ( -. u e. U. x -> ( z i^i { u } ) = (/) ) )
12	11	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( z i^i { u } ) = (/) )
13	12	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) ) = ( ( z i^i v ) u. (/) ) )
14		un0 3967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i v ) u. (/) ) = ( z i^i v )
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( z i^i v ) u. ( z i^i { u } ) ) = ( z i^i v ) )
16	7, 15	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( z i^i v ) = ( z i^i ( v u. { u } ) ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( w e. ( z i^i v ) <-> w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) )
18	17	eubidv 2490	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( E! w w e. ( z i^i v ) <-> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( ( -. u e. U. x /\ z e. x ) -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) )
20	19	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) )
21		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. { u }
22	21	olci 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. v \/ u e. { u } )
23		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( v u. { u } ) <-> ( u e. v \/ u e. { u } ) )
24	22, 23	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 |- u e. ( v u. { u } )
25		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v u. { u } ) e. x -> ( v u. { u } ) C_ U. x )
26	25	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v u. { u } ) e. x -> ( u e. ( v u. { u } ) -> u e. U. x ) )
27	24, 26	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( v u. { u } ) e. x -> u e. U. x )
28	27	con3i 150	. . . . . . . 8 |- ( -. u e. U. x -> -. ( v u. { u } ) e. x )
29	28	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) )
30	20, 29	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) )
31		vex 3203	. . . . . . . 8 |- v e. _V
32		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { u } e. _V
33	31, 32	unex 6956	. . . . . . 7 |- ( v u. { u } ) e. _V
34		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( y e. x <-> ( v u. { u } ) e. x ) )
35	34	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( -. y e. x <-> -. ( v u. { u } ) e. x ) )
36		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( z i^i y ) = ( z i^i ( v u. { u } ) ) )
37	36	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( w e. ( z i^i y ) <-> w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) )
38	37	eubidv 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( E! w w e. ( z i^i y ) <-> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) )
40	39	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) )
41	35, 40	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = ( v u. { u } ) -> ( ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) <-> ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) ) )
42	33, 41	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( ( -. ( v u. { u } ) e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i ( v u. { u } ) ) ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )
43	30, 42	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( -. u e. U. x -> ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) ) )
44		vuniex 6954	. . . . . 6 |- U. x e. _V
45		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( y = U. x -> ( u e. y <-> u e. U. x ) )
46	45	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( y = U. x -> ( -. u e. y <-> -. u e. U. x ) )
47	46	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( y = U. x -> ( E. u -. u e. y <-> E. u -. u e. U. x ) )
48		nalset 4795	. . . . . . . 8 |- -. E. y A. u u e. y
49		alexn 1771	. . . . . . . 8 |- ( A. y E. u -. u e. y <-> -. E. y A. u u e. y )
50	48, 49	mpbir 221	. . . . . . 7 |- A. y E. u -. u e. y
51	50	spi 2054	. . . . . 6 |- E. u -. u e. y
52	44, 47, 51	vtocl 3259	. . . . 5 |- E. u -. u e. U. x
53	43, 52	exlimiiv 1859	. . . 4 |- ( A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )
54	53	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. v A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i v ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )
55	6, 54	sylbi 207	. 2 |- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) -> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )
56		exsimpr 1796	. 2 |- ( E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) -> E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) )
57	55, 56	impbii 199	1 |- ( E. y A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) <-> E. y ( -. y e. x /\ A. z e. x ( ph -> E! w w e. ( z i^i y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  kmlem8  8979