Theorem kmlem9 8980

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem9	|- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )

Distinct variable groups:   x, z, w, u, t   z, A, w

Allowed substitution hints:   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem9

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- z e. _V
2		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( u = z -> ( u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( u = z -> ( E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> E. t e. x z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
4		kmlem9.1	. . . 4 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
5	1, 3, 4	elab2 3354	. . 3 |- ( z e. A <-> E. t e. x z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) )
6		vex 3203	. . . . 5 |- w e. _V
7		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( u = w -> ( u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> w = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
8	7	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( u = w -> ( E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> E. t e. x w = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
9	6, 8, 4	elab2 3354	. . . 4 |- ( w e. A <-> E. t e. x w = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) )
10		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( t = h -> ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = ( h \ U. ( x \ { t } ) ) )
11		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( t = h -> { t } = { h } )
12	11	difeq2d 3728	. . . . . . . . 9 |- ( t = h -> ( x \ { t } ) = ( x \ { h } ) )
13	12	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( t = h -> U. ( x \ { t } ) = U. ( x \ { h } ) )
14	13	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( t = h -> ( h \ U. ( x \ { t } ) ) = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) )
15	10, 14	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( t = h -> ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( t = h -> ( w = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) )
17	16	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. t e. x w = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) <-> E. h e. x w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) )
18	9, 17	bitri 264	. . 3 |- ( w e. A <-> E. h e. x w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) )
19		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. t e. x E. h e. x ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) <-> ( E. t e. x z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ E. h e. x w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) )
20		eqeq12 2635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z = w <-> ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) )
21	15, 20	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( t = h -> z = w ) )
22	21	necon3d 2815	. . . . . . . 8 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z =/= w -> t =/= h ) )
23		kmlem5 8976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. x /\ t =/= h ) -> ( ( t \ U. ( x \ { t } ) ) i^i ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) = (/) )
24		ineq12 3809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z i^i w ) = ( ( t \ U. ( x \ { t } ) ) i^i ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( ( z i^i w ) = (/) <-> ( ( t \ U. ( x \ { t } ) ) i^i ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) = (/) ) )
26	23, 25	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( ( h e. x /\ t =/= h ) -> ( z i^i w ) = (/) ) )
27	26	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( h e. x -> ( t =/= h -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
28	22, 27	syl5d 73	. . . . . . 7 |- ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( h e. x -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
29	28	com12 32	. . . . . 6 |- ( h e. x -> ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
30	29	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( t e. x /\ h e. x ) -> ( ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
31	30	rexlimivv 3036	. . . 4 |- ( E. t e. x E. h e. x ( z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) )
32	19, 31	sylbir 225	. . 3 |- ( ( E. t e. x z = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) /\ E. h e. x w = ( h \ U. ( x \ { h } ) ) ) -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) )
33	5, 18, 32	syl2anb 496	. 2 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) )
34	33	rgen2a 2977	1 |- A. z e. A A. w e. A ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  kmlem10  8981