Theorem lautset 35368

Description: The set of lattice automorphisms. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautset.b	|- B = ( Base ` K )
lautset.l	|- .<_ = ( le ` K )
lautset.i	|- I = ( LAut ` K )

Assertion

Ref	Expression
lautset	|- ( K e. A -> I = { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } )

Distinct variable groups:   x, f, y, B   f, K, x, y   .<_ , f

Allowed substitution hints:   A( x, y, f)   I( x, y, f)   .<_ ( x, y)

Proof of Theorem lautset

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( K e. A -> K e. _V )
2		lautset.i	. . 3 |- I = ( LAut ` K )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( Base ` k ) = ( Base ` K ) )
4		lautset.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( Base ` k ) = B )
6		f1oeq2 6128	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` k ) = B -> ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) <-> f : B -1-1-onto-> ( Base ` k ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) <-> f : B -1-1-onto-> ( Base ` k ) ) )
8		f1oeq3 6129	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` k ) = B -> ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` k ) <-> f : B -1-1-onto-> B ) )
9	5, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` k ) <-> f : B -1-1-onto-> B ) )
10	7, 9	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) <-> f : B -1-1-onto-> B ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( le ` k ) = ( le ` K ) )
12		lautset.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( le ` k ) = .<_ )
14	13	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( x ( le ` k ) y <-> x .<_ y ) )
15	13	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) )
16	14, 15	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) <-> ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) )
17	5, 16	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( A. y e. ( Base ` k ) ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) )
18	5, 17	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( A. x e. ( Base ` k ) A. y e. ( Base ` k ) ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) )
19	10, 18	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) /\ A. x e. ( Base ` k ) A. y e. ( Base ` k ) ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) ) )
20	19	abbidv 2741	. . . 4 |- ( k = K -> { f | ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) /\ A. x e. ( Base ` k ) A. y e. ( Base ` k ) ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } )
21		df-laut 35275	. . . 4 |- LAut = ( k e. _V |-> { f | ( f : ( Base ` k ) -1-1-onto-> ( Base ` k ) /\ A. x e. ( Base ` k ) A. y e. ( Base ` k ) ( x ( le ` k ) y <-> ( f ` x ) ( le ` k ) ( f ` y ) ) ) } )
22		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` K ) e. _V
23	4, 22	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- B e. _V
24	23, 23	mapval 7869	. . . . . . 7 |- ( B ^m B ) = { f | f : B --> B }
25		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( B ^m B ) e. _V
26	24, 25	eqeltrri 2698	. . . . . 6 |- { f | f : B --> B } e. _V
27		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( f : B -1-1-onto-> B -> f : B --> B )
28	27	ss2abi 3674	. . . . . 6 |- { f | f : B -1-1-onto-> B } C_ { f | f : B --> B }
29	26, 28	ssexi 4803	. . . . 5 |- { f | f : B -1-1-onto-> B } e. _V
30		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) -> f : B -1-1-onto-> B )
31	30	ss2abi 3674	. . . . 5 |- { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } C_ { f | f : B -1-1-onto-> B }
32	29, 31	ssexi 4803	. . . 4 |- { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } e. _V
33	20, 21, 32	fvmpt 6282	. . 3 |- ( K e. _V -> ( LAut ` K ) = { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } )
34	2, 33	syl5eq 2668	. 2 |- ( K e. _V -> I = { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } )
35	1, 34	syl 17	1 |- ( K e. A -> I = { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( f ` x ) .<_ ( f ` y ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   lecple 15948   LAutclaut 35271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275

This theorem is referenced by:  islaut  35369