Theorem lnoval 27607

Description: The set of linear operators between two normed complex vector spaces. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnoval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
lnoval.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
lnoval.3	|- G = ( +v ` U )
lnoval.4	|- H = ( +v ` W )
lnoval.5	|- R = ( .sOLD ` U )
lnoval.6	|- S = ( .sOLD ` W )
lnoval.7	|- L = ( U LnOp W )

Assertion

Ref	Expression
lnoval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> L = { t e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) } )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, U   t, W, x, y, z   t, X, y, z   t, Y   t, G   t, R   t, H   t, S

Allowed substitution hints:   R( x, y, z)   S( x, y, z)   G( x, y, z)   H( x, y, z)   L( x, y, z, t)   X( x)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem lnoval

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnoval.7	. 2 |- L = ( U LnOp W )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( BaseSet ` u ) = ( BaseSet ` U ) )
3		lnoval.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( u = U -> ( BaseSet ` u ) = X )
5	4	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( u = U -> ( ( BaseSet ` w ) ^m ( BaseSet ` u ) ) = ( ( BaseSet ` w ) ^m X ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = U -> ( +v ` u ) = ( +v ` U ) )
7		lnoval.3	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( +v ` U )
8	6, 7	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> ( +v ` u ) = G )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = U -> ( .sOLD ` u ) = ( .sOLD ` U ) )
10		lnoval.5	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( .sOLD ` U )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = U -> ( .sOLD ` u ) = R )
12	11	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> ( x ( .sOLD ` u ) y ) = ( x R y ) )
13		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> z = z )
14	8, 12, 13	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) = ( ( x R y ) G z ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) ) )
17	4, 16	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( A. z e. ( BaseSet ` u ) ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) ) )
18	4, 17	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. y e. ( BaseSet ` u ) A. z e. ( BaseSet ` u ) ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( u = U -> ( A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` u ) A. z e. ( BaseSet ` u ) ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) ) )
20	5, 19	rabeqbidv 3195	. . 3 |- ( u = U -> { t e. ( ( BaseSet ` w ) ^m ( BaseSet ` u ) ) | A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` u ) A. z e. ( BaseSet ` u ) ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) } = { t e. ( ( BaseSet ` w ) ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) } )
21		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( BaseSet ` w ) = ( BaseSet ` W ) )
22		lnoval.2	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
23	21, 22	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( w = W -> ( BaseSet ` w ) = Y )
24	23	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( BaseSet ` w ) ^m X ) = ( Y ^m X ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( +v ` w ) = ( +v ` W ) )
26		lnoval.4	. . . . . . . . 9 |- H = ( +v ` W )
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( +v ` w ) = H )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( .sOLD ` w ) = ( .sOLD ` W ) )
29		lnoval.6	. . . . . . . . . 10 |- S = ( .sOLD ` W )
30	28, 29	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( .sOLD ` w ) = S )
31	30	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) = ( x S ( t ` y ) ) )
32		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( t ` z ) = ( t ` z ) )
33	27, 31, 32	oveq123d 6671	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) )
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) ) )
35	34	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( w = W -> ( A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) ) )
36	35	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( w = W -> ( A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) <-> A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) ) )
37	24, 36	rabeqbidv 3195	. . 3 |- ( w = W -> { t e. ( ( BaseSet ` w ) ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) } = { t e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) } )
38		df-lno 27599	. . 3 |- LnOp = ( u e. NrmCVec , w e. NrmCVec |-> { t e. ( ( BaseSet ` w ) ^m ( BaseSet ` u ) ) | A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` u ) A. z e. ( BaseSet ` u ) ( t ` ( ( x ( .sOLD ` u ) y ) ( +v ` u ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` w ) ( t ` y ) ) ( +v ` w ) ( t ` z ) ) } )
39		ovex 6678	. . . 4 |- ( Y ^m X ) e. _V
40	39	rabex 4813	. . 3 |- { t e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) } e. _V
41	20, 37, 38, 40	ovmpt2 6796	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( U LnOp W ) = { t e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) } )
42	1, 41	syl5eq 2668	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> L = { t e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( t ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( t ` y ) ) H ( t ` z ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   LnOp clno 27595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-lno 27599

This theorem is referenced by:  islno  27608  hhlnoi  28759