Theorem islno 27608

Description: The predicate "is a linear operator." (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnoval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
lnoval.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
lnoval.3	|- G = ( +v ` U )
lnoval.4	|- H = ( +v ` W )
lnoval.5	|- R = ( .sOLD ` U )
lnoval.6	|- S = ( .sOLD ` W )
lnoval.7	|- L = ( U LnOp W )

Assertion

Ref	Expression
islno	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( T e. L <-> ( T : X --> Y /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, U   x, W, y, z   y, X, z   x, T, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y, z)   S( x, y, z)   G( x, y, z)   H( x, y, z)   L( x, y, z)   X( x)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem islno

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnoval.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
2		lnoval.2	. . . 4 |- Y = ( BaseSet ` W )
3		lnoval.3	. . . 4 |- G = ( +v ` U )
4		lnoval.4	. . . 4 |- H = ( +v ` W )
5		lnoval.5	. . . 4 |- R = ( .sOLD ` U )
6		lnoval.6	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` W )
7		lnoval.7	. . . 4 |- L = ( U LnOp W )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lnoval 27607	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> L = { w e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) } )
9	8	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( T e. L <-> T e. { w e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) } ) )
10		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( w = T -> ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = T -> ( w ` y ) = ( T ` y ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( w = T -> ( x S ( w ` y ) ) = ( x S ( T ` y ) ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( w = T -> ( w ` z ) = ( T ` z ) )
14	12, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( w = T -> ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) )
15	10, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = T -> ( ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) <-> ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( w = T -> ( A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( w = T -> ( A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) <-> A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
18	17	elrab 3363	. . 3 |- ( T e. { w e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) } <-> ( T e. ( Y ^m X ) /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
19		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
20	2, 19	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Y e. _V
21		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
22	1, 21	eqeltri 2697	. . . . 5 |- X e. _V
23	20, 22	elmap 7886	. . . 4 |- ( T e. ( Y ^m X ) <-> T : X --> Y )
24	23	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( T e. ( Y ^m X ) /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) <-> ( T : X --> Y /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
25	18, 24	bitri 264	. 2 |- ( T e. { w e. ( Y ^m X ) | A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( w ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( w ` y ) ) H ( w ` z ) ) } <-> ( T : X --> Y /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) )
26	9, 25	syl6bb 276	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( T e. L <-> ( T : X --> Y /\ A. x e. CC A. y e. X A. z e. X ( T ` ( ( x R y ) G z ) ) = ( ( x S ( T ` y ) ) H ( T ` z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   LnOp clno 27595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-lno 27599

This theorem is referenced by:  lnolin  27609  lnof  27610  lnocoi  27612  0lno  27645  ipblnfi  27711