Theorem ovmpt2 6796

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpt2g.1	|- ( x = A -> R = G )
ovmpt2g.2	|- ( y = B -> G = S )
ovmpt2g.3	|- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
ovmpt2.4	|- S e. _V

Assertion

Ref	Expression
ovmpt2	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) = S )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem ovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpt2.4	. 2 |- S e. _V
2		ovmpt2g.1	. . 3 |- ( x = A -> R = G )
3		ovmpt2g.2	. . 3 |- ( y = B -> G = S )
4		ovmpt2g.3	. . 3 |- F = ( x e. C , y e. D |-> R )
5	2, 3, 4	ovmpt2g 6795	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ S e. _V ) -> ( A F B ) = S )
6	1, 5	mp3an3 1413	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A F B ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  seqomlem1  7545  seqomlem4  7548  oav  7591  omv  7592  oev  7594  iunfictbso  8937  fin23lem12  9153  axdc4lem  9277  axcclem  9279  addpipq2  9758  mulpipq2  9761  subval  10272  divval  10687  cnref1o  11827  ixxval  12183  fzval  12328  modval  12670  om2uzrdg  12755  uzrdgsuci  12759  axdc4uzlem  12782  seqval  12812  seqp1  12816  bcval  13091  cnrecnv  13905  risefacval  14739  fallfacval  14740  gcdval  15218  lcmval  15305  imasvscafn  16197  imasvscaval  16198  grpsubval  17465  isghm  17660  lactghmga  17824  efgmval  18125  efgtval  18136  frgpup3lem  18190  dvrval  18685  psrvsca  19391  frlmval  20092  mat1comp  20246  mamulid  20247  mamurid  20248  madufval  20443  xkococnlem  21462  xkococn  21463  cnextval  21865  dscmet  22377  cncfval  22691  htpycom  22775  htpyid  22776  phtpycom  22787  phtpyid  22788  logbval  24504  isismt  25429  wwlks2onv  26847  grpodivval  27389  ipval  27558  lnoval  27607  nmoofval  27617  bloval  27636  0ofval  27642  ajfval  27664  hvsubval  27873  hosmval  28594  hommval  28595  hodmval  28596  hfsmval  28597  hfmmval  28598  kbfval  28811  opsqrlem3  29001  dpval  29597  xdivval  29627  smatrcl  29862  smatlem  29863  mdetpmtr12  29891  fvproj  29899  pstmfval  29939  sxval  30253  ismbfm  30314  dya2iocival  30335  sitgval  30394  sitmval  30411  oddpwdcv  30417  ballotlemgval  30585  vtsval  30715  cvmlift2lem4  31288  icoreval  33201  metf1o  33551  heiborlem3  33612  heiborlem6  33615  heiborlem8  33617  heibor  33620  ldualvs  34424  tendopl  36064  cdlemkuu  36183  dvavsca  36305  dvhvaddval  36379  dvhvscaval  36388  hlhilipval  37241