Theorem lpolpolsatN 36778

Description: Property of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpolpolsat.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lpolpolsat.p	|- P = (LPol ` W )
lpolpolsat.w	|- ( ph -> W e. X )
lpolpolsat.o	|- ( ph -> ._|_ e. P )
lpolpolsat.q	|- ( ph -> Q e. A )

Assertion

Ref	Expression
lpolpolsatN	|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q )

Proof of Theorem lpolpolsatN

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpolpolsat.o	. . 3 |- ( ph -> ._|_ e. P )
2		lpolpolsat.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. X )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
6		lpolpolsat.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` W )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- (LSHyp ` W ) = (LSHyp ` W )
8		lpolpolsat.p	. . . . 5 |- P = (LPol ` W )
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	islpolN 36772	. . . 4 |- ( W e. X -> ( ._|_ e. P <-> ( ._|_ : ~P ( Base ` W ) --> ( LSubSp ` W ) /\ ( ( ._|_ ` ( Base ` W ) ) = { ( 0g ` W ) } /\ A. x A. y ( ( x C_ ( Base ` W ) /\ y C_ ( Base ` W ) /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) ) )
10	2, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ._|_ e. P <-> ( ._|_ : ~P ( Base ` W ) --> ( LSubSp ` W ) /\ ( ( ._|_ ` ( Base ` W ) ) = { ( 0g ` W ) } /\ A. x A. y ( ( x C_ ( Base ` W ) /\ y C_ ( Base ` W ) /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) ) )
11	1, 10	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( ._|_ : ~P ( Base ` W ) --> ( LSubSp ` W ) /\ ( ( ._|_ ` ( Base ` W ) ) = { ( 0g ` W ) } /\ A. x A. y ( ( x C_ ( Base ` W ) /\ y C_ ( Base ` W ) /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) )
12		simpr3 1069	. . 3 |- ( ( ._|_ : ~P ( Base ` W ) --> ( LSubSp ` W ) /\ ( ( ._|_ ` ( Base ` W ) ) = { ( 0g ` W ) } /\ A. x A. y ( ( x C_ ( Base ` W ) /\ y C_ ( Base ` W ) /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) -> A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) )
13		lpolpolsat.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. A )
14		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` Q ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) <-> ( ._|_ ` Q ) e. (LSHyp ` W ) ) )
16	14	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) )
17		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> x = Q )
18	16, 17	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) )
19	15, 18	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = Q -> ( ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) <-> ( ( ._|_ ` Q ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) ) )
20	19	rspcv 3305	. . . 4 |- ( Q e. A -> ( A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) -> ( ( ._|_ ` Q ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) ) )
21	13, 20	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) -> ( ( ._|_ ` Q ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) ) )
22		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ._|_ ` Q ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q )
23	12, 21, 22	syl56 36	. 2 |- ( ph -> ( ( ._|_ : ~P ( Base ` W ) --> ( LSubSp ` W ) /\ ( ( ._|_ ` ( Base ` W ) ) = { ( 0g ` W ) } /\ A. x A. y ( ( x C_ ( Base ` W ) /\ y C_ ( Base ` W ) /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. (LSHyp ` W ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q ) )
24	11, 23	mpd 15	1 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Q ) ) = Q )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LSubSpclss 18932  LSAtomsclsa 34261  LSHypclsh 34262  LPolclpoN 36769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-lpolN 36770

This theorem is referenced by: (None)