Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpolN Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem islpolN 36772
Description: The predicate "is a polarity". (Contributed by NM, 24-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolset.v |- V = ( Base ` W )
lpolset.s |- S = ( LSubSp ` W )
lpolset.z |- .0. = ( 0g ` W )
lpolset.a |- A = (LSAtoms ` W )
lpolset.h |- H = (LSHyp ` W )
lpolset.p |- P = (LPol ` W )
Assertion
Ref Expression
islpolN |- ( W e. X -> ( ._|_ e. P <-> ( ._|_ : ~P V --> S /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, y, W   x, ._|_ , y
Allowed substitution hints:   A( y)   P( x, y)   S( x, y)   H( x, y)   V( x, y)   X( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem islpolN
Dummy variable o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolset.v . . . 4 |- V = ( Base ` W )
2 lpolset.s . . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3 lpolset.z . . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
4 lpolset.a . . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
5 lpolset.h . . . 4 |- H = (LSHyp ` W )
6 lpolset.p . . . 4 |- P = (LPol ` W )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpolsetN 36771 . . 3 |- ( W e. X -> P = { o e. ( S ^m ~P V ) | ( ( o ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) ) } )
87eleq2d 2687 . 2 |- ( W e. X -> ( ._|_ e. P <-> ._|_ e. { o e. ( S ^m ~P V ) | ( ( o ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) ) } ) )
9 fveq1 6190 . . . . . 6 |- ( o = ._|_ -> ( o ` V ) = ( ._|_ ` V ) )
109eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( o = ._|_ -> ( ( o ` V ) = { .0. } <-> ( ._|_ ` V ) = { .0. } ) )
11 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( o = ._|_ -> ( o ` y ) = ( ._|_ ` y ) )
12 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( o = ._|_ -> ( o ` x ) = ( ._|_ ` x ) )
1311, 12sseq12d 3634 . . . . . . 7 |- ( o = ._|_ -> ( ( o ` y ) C_ ( o ` x ) <-> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) )
1413imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( o = ._|_ -> ( ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) <-> ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) ) )
15142albidv 1851 . . . . 5 |- ( o = ._|_ -> ( A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) <-> A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) ) )
1612eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( o = ._|_ -> ( ( o ` x ) e. H <-> ( ._|_ ` x ) e. H ) )
17 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( o = ._|_ -> o = ._|_ )
1817, 12fveq12d 6197 . . . . . . . 8 |- ( o = ._|_ -> ( o ` ( o ` x ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) )
1918eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( o = ._|_ -> ( ( o ` ( o ` x ) ) = x <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) )
2016, 19anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( o = ._|_ -> ( ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) <-> ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) )
2120ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( o = ._|_ -> ( A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) <-> A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) )
2210, 15, 213anbi123d 1399 . . . 4 |- ( o = ._|_ -> ( ( ( o ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) ) <-> ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) )
2322elrab 3363 . . 3 |- ( ._|_ e. { o e. ( S ^m ~P V ) | ( ( o ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) ) } <-> ( ._|_ e. ( S ^m ~P V ) /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) )
24 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) e. _V
252, 24eqeltri 2697 . . . . 5 |- S e. _V
26 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` W ) e. _V
271, 26eqeltri 2697 . . . . . 6 |- V e. _V
2827pwex 4848 . . . . 5 |- ~P V e. _V
2925, 28elmap 7886 . . . 4 |- ( ._|_ e. ( S ^m ~P V ) <-> ._|_ : ~P V --> S )
3029anbi1i 731 . . 3 |- ( ( ._|_ e. ( S ^m ~P V ) /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) <-> ( ._|_ : ~P V --> S /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) )
3123, 30bitri 264 . 2 |- ( ._|_ e. { o e. ( S ^m ~P V ) | ( ( o ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( o ` y ) C_ ( o ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( o ` x ) e. H /\ ( o ` ( o ` x ) ) = x ) ) } <-> ( ._|_ : ~P V --> S /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) )
328, 31syl6bb 276 1 |- ( W e. X -> ( ._|_ e. P <-> ( ._|_ : ~P V --> S /\ ( ( ._|_ ` V ) = { .0. } /\ A. x A. y ( ( x C_ V /\ y C_ V /\ x C_ y ) -> ( ._|_ ` y ) C_ ( ._|_ ` x ) ) /\ A. x e. A ( ( ._|_ ` x ) e. H /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` x ) ) = x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LSubSpclss 18932  LSAtomsclsa 34261  LSHypclsh 34262  LPolclpoN 36769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-lpolN 36770
This theorem is referenced by:  islpoldN  36773  lpolfN  36774  lpolvN  36775  lpolconN  36776  lpolsatN  36777  lpolpolsatN  36778
  Copyright terms: Public domain W3C validator