Theorem lsspropd 19017

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsspropd.b1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lsspropd.b2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lsspropd.w	|- ( ph -> B C_ W )
lsspropd.p	|- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lsspropd.s1	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
lsspropd.s2	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
lsspropd.p1	|- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
lsspropd.p2	|- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lsspropd	|- ( ph -> ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, W, y   x, L, y   x, P, y

Proof of Theorem lsspropd

Dummy variables a b z s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ph )
2		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> z e. P )
3		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> s C_ B )
4		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> a e. s )
5	3, 4	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> a e. B )
6		lsspropd.s1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
7	6	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
9		ovrspc2v 6672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. P /\ a e. B ) /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W ) -> ( z ( .s ` K ) a ) e. W )
10	2, 5, 8, 9	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) e. W )
11		lsspropd.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ W )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> B C_ W )
13		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. s )
14	3, 13	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. B )
15	12, 14	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. W )
16		lsspropd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
17	16	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( z ( .s ` K ) a ) e. W /\ b e. W ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) )
18	1, 10, 15, 17	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) )
19		lsspropd.s2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
20	19	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. P /\ a e. B ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) = ( z ( .s ` L ) a ) )
21	1, 2, 5, 20	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) = ( z ( .s ` L ) a ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) = ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) )
23	18, 22	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
25	24	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ z e. P ) /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) -> ( ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
26	25	2ralbidva 2988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ z e. P ) -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
27	26	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s C_ B ) -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s C_ B ) -> ( ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
29	28	pm5.32da 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) ) )
30		3anass 1042	. . . . 5 |- ( ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
31		3anass 1042	. . . . 5 |- ( ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
33		lsspropd.b1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
34	33	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( ph -> ( s C_ B <-> s C_ ( Base ` K ) ) )
35		lsspropd.p1	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
36	35	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) )
37	34, 36	3anbi13d 1401	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` K ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
38		lsspropd.b2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
39	38	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( ph -> ( s C_ B <-> s C_ ( Base ` L ) ) )
40		lsspropd.p2	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
41	40	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s <-> A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
42	39, 41	3anbi13d 1401	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ s =/= (/) /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
43	32, 37, 42	3bitr3d 298	. . 3 |- ( ph -> ( ( s C_ ( Base ` K ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
44		eqid 2622	. . . 4 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
45		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` K ) ) = ( Base ` (Scalar ` K ) )
46		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
47		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
48		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
49		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` K )
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	islss 18935	. . 3 |- ( s e. ( LSubSp ` K ) <-> ( s C_ ( Base ` K ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) )
51		eqid 2622	. . . 4 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
52		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` (Scalar ` L ) ) = ( Base ` (Scalar ` L ) )
53		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
54		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
55		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
56		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` L ) = ( LSubSp ` L )
57	51, 52, 53, 54, 55, 56	islss 18935	. . 3 |- ( s e. ( LSubSp ` L ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ s =/= (/) /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
58	43, 50, 57	3bitr4g 303	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( LSubSp ` K ) <-> s e. ( LSubSp ` L ) ) )
59	58	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lsppropd  19018  lidlrsppropd  19230  ply1lss  19566