Theorem islss 18935

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss	|- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x

Allowed substitution hints:   B( a, b)   .+ ( x, a, b)   S( x, a, b)   .x. ( x, a, b)   F( x, a, b)   V( x, a, b)

Proof of Theorem islss

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6221	. . 3 |- ( U e. ( LSubSp ` W ) -> W e. _V )
2		lssset.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	eleq2s 2719	. 2 |- ( U e. S -> W e. _V )
4		lssset.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
5		fvprc 6185	. . . . . . . . 9 |- ( -. W e. _V -> ( Base ` W ) = (/) )
6	4, 5	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( -. W e. _V -> V = (/) )
7	6	sseq2d 3633	. . . . . . 7 |- ( -. W e. _V -> ( U C_ V <-> U C_ (/) ) )
8	7	biimpcd 239	. . . . . 6 |- ( U C_ V -> ( -. W e. _V -> U C_ (/) ) )
9		ss0 3974	. . . . . 6 |- ( U C_ (/) -> U = (/) )
10	8, 9	syl6 35	. . . . 5 |- ( U C_ V -> ( -. W e. _V -> U = (/) ) )
11	10	necon1ad 2811	. . . 4 |- ( U C_ V -> ( U =/= (/) -> W e. _V ) )
12	11	imp 445	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ U =/= (/) ) -> W e. _V )
13	12	3adant3 1081	. 2 |- ( ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) -> W e. _V )
14		lssset.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
15		lssset.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
16		lssset.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
17		lssset.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
18	14, 15, 4, 16, 17, 2	lssset 18934	. . . 4 |- ( W e. _V -> S = { s e. ( ~P V \ { (/) } ) | A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s } )
19	18	eleq2d 2687	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> U e. { s e. ( ~P V \ { (/) } ) | A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s } ) )
20		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( U e. ( ~P V \ { (/) } ) <-> ( U e. ~P V /\ U =/= (/) ) )
21		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) e. _V
22	4, 21	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- V e. _V
23	22	elpw2 4828	. . . . . . 7 |- ( U e. ~P V <-> U C_ V )
24	23	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( U e. ~P V /\ U =/= (/) ) <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) ) )
25	20, 24	bitri 264	. . . . 5 |- ( U e. ( ~P V \ { (/) } ) <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) ) )
26	25	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( U e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( ( U C_ V /\ U =/= (/) ) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
27		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
28	27	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
29	28	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
30	29	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
31	30	elrab 3363	. . . 4 |- ( U e. { s e. ( ~P V \ { (/) } ) | A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s } <-> ( U e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
32		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( ( U C_ V /\ U =/= (/) ) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
33	26, 31, 32	3bitr4i 292	. . 3 |- ( U e. { s e. ( ~P V \ { (/) } ) | A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s } <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
34	19, 33	syl6bb 276	. 2 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
35	3, 13, 34	pm5.21nii 368	1 |- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ U =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  islssd  18936  lssss  18937  lssn0  18941  lsscl  18943  islss4  18962  lsspropd  19017  islidl  19211  ocvlss  20016  lkrlss  34382  lclkr  36822  lclkrs  36828  lcfr  36874