Theorem lublecllem 16988

Description: Lemma for lublecl 16989 and lubid 16990. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublecl.b	|- B = ( Base ` K )
lublecl.l	|- .<_ = ( le ` K )
lublecl.u	|- U = ( lub ` K )
lublecl.k	|- ( ph -> K e. Poset )
lublecl.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
lublecllem	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, .<_   w, B, x, y, z   w, K, x, z   w, X, x, y, z   ph, w, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   U( x, y, z, w)   K( y)

Proof of Theorem lublecllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . 4 |- ( y = z -> ( y .<_ X <-> z .<_ X ) )
2	1	ralrab 3368	. . 3 |- ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x <-> A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) )
3	1	ralrab 3368	. . . . 5 |- ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w <-> A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) )
4	3	imbi1i 339	. . . 4 |- ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) <-> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) )
5	4	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) <-> A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) )
6	2, 5	anbi12i 733	. 2 |- ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) /\ A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) ) )
7		lublecl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
8		lublecl.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Poset )
9		lublecl.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
10		lublecl.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
11	9, 10	posref 16951	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B ) -> X .<_ X )
12	8, 7, 11	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> X .<_ X )
13		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = X -> ( z .<_ X <-> X .<_ X ) )
14		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = X -> ( z .<_ x <-> X .<_ x ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( z = X -> ( ( z .<_ X -> z .<_ x ) <-> ( X .<_ X -> X .<_ x ) ) )
16	15	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) ) -> ( X .<_ X -> X .<_ x ) )
17	12, 16	syl5com 31	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X e. B /\ A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) ) -> X .<_ x ) )
18	7, 17	mpand 711	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) -> X .<_ x ) )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) -> X .<_ x ) )
20		idd 24	. . . . . . 7 |- ( z e. B -> ( z .<_ X -> z .<_ X ) )
21	20	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ X )
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z .<_ w <-> z .<_ X ) )
23	22	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z .<_ X -> z .<_ w ) <-> ( z .<_ X -> z .<_ X ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( w = X -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) <-> A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ X ) ) )
25		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = X -> ( x .<_ w <-> x .<_ X ) )
26	24, 25	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( w = X -> ( ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) <-> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ X ) -> x .<_ X ) ) )
27	26	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ X ) -> x .<_ X ) ) )
28	7, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ X ) -> x .<_ X ) ) )
29	21, 28	mpii 46	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) -> x .<_ X ) )
30	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) -> x .<_ X ) )
31	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> K e. Poset )
32		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
33	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> X e. B )
34	9, 10	posasymb 16952	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( ( x .<_ X /\ X .<_ x ) <-> x = X ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x .<_ X /\ X .<_ x ) <-> x = X ) )
36	35	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x .<_ X /\ X .<_ x ) -> x = X ) )
37	36	ancomsd 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( X .<_ x /\ x .<_ X ) -> x = X ) )
38	19, 30, 37	syl2and 500	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) /\ A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) ) -> x = X ) )
39		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( z .<_ x <-> z .<_ X ) )
40	39	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( z .<_ X -> z .<_ x ) )
41	40	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( x = X -> A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) )
42	41	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ x = X ) -> A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) )
43	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> X e. B )
44		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = X -> ( z .<_ w <-> X .<_ w ) )
45	13, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( ( z .<_ X -> z .<_ w ) <-> ( X .<_ X -> X .<_ w ) ) )
46	45	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) ) -> ( X .<_ X -> X .<_ w ) )
47		pm5.5 351	. . . . . . . . . . 11 |- ( X .<_ X -> ( ( X .<_ X -> X .<_ w ) <-> X .<_ w ) )
48	12, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X .<_ X -> X .<_ w ) <-> X .<_ w ) )
49		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( x .<_ w <-> X .<_ w ) )
50	49	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( X .<_ w <-> x .<_ w ) )
51	48, 50	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( ( X .<_ X -> X .<_ w ) <-> x .<_ w ) )
52	46, 51	syl5ib 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( ( X e. B /\ A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) ) -> x .<_ w ) )
53	43, 52	mpand 711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) )
54	53	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = X ) -> A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) )
55	54	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ x = X ) -> A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) )
56	42, 55	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ x = X ) -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) /\ A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) ) )
57	56	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x = X -> ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) /\ A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) ) ) )
58	38, 57	impbid 202	. 2 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ x ) /\ A. w e. B ( A. z e. B ( z .<_ X -> z .<_ w ) -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) )
59	6, 58	syl5bb 272	1 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946

This theorem is referenced by:  lublecl  16989  lubid  16990