Theorem lublecl 16989

Description: The set of all elements less than a given element has an LUB. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublecl.b	|- B = ( Base ` K )
lublecl.l	|- .<_ = ( le ` K )
lublecl.u	|- U = ( lub ` K )
lublecl.k	|- ( ph -> K e. Poset )
lublecl.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
lublecl	|- ( ph -> { y e. B | y .<_ X } e. dom U )

Distinct variable groups:   y, .<_   y, B   y, X

Allowed substitution hints:   ph( y)   U( y)   K( y)

Proof of Theorem lublecl

Dummy variables x w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { y e. B | y .<_ X } C_ B
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { y e. B | y .<_ X } C_ B )
3		lublecl.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
4		lublecl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
5		lublecl.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
6		lublecl.u	. . . . 5 |- U = ( lub ` K )
7		lublecl.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Poset )
8	4, 5, 6, 7, 3	lublecllem 16988	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) )
9	8	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) )
10		reu6i 3397	. . 3 |- ( ( X e. B /\ A. x e. B ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> x = X ) ) -> E! x e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E! x e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) )
12		biid 251	. . 3 |- ( ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) <-> ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) )
13	4, 5, 6, 12, 7	lubeldm 16981	. 2 |- ( ph -> ( { y e. B | y .<_ X } e. dom U <-> ( { y e. B | y .<_ X } C_ B /\ E! x e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ x /\ A. w e. B ( A. z e. { y e. B | y .<_ X } z .<_ w -> x .<_ w ) ) ) ) )
14	2, 11, 13	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> { y e. B | y .<_ X } e. dom U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974

This theorem is referenced by: (None)