Theorem mdetunilem1 20418

Description: Lemma for mdetuni 20428. (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem1	|- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> ( D ` E ) = .0. )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w   x, B, y, z, w   x, K, y, z, w   x, N, y, z, w   x, D, y, z, w   x, .x. , y, z, w   x, .+ , y, z, w   x, .0. , y, z, w   x, .1. , y, z, w   x, R, y, z, w   x, A, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w   x, G, y, z, w

Proof of Theorem mdetunilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1069	. 2 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> F =/= G )
2		simpl3 1066	. 2 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) )
3		neeq2 2857	. . . . 5 |- ( z = G -> ( F =/= z <-> F =/= G ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( z = G -> ( z E w ) = ( G E w ) )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( z = G -> ( ( F E w ) = ( z E w ) <-> ( F E w ) = ( G E w ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = G -> ( A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) <-> A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) )
7	3, 6	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = G -> ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) <-> ( F =/= G /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) ) )
8	7	imbi1d 331	. . 3 |- ( z = G -> ( ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) <-> ( ( F =/= G /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) ) )
9		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> E e. B )
10		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> F e. N )
11		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> ph )
12		mdetuni.al	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
14		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = E -> ( y x w ) = ( y E w ) )
15		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = E -> ( z x w ) = ( z E w ) )
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = E -> ( ( y x w ) = ( z x w ) <-> ( y E w ) = ( z E w ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) <-> A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) <-> ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( D ` x ) = ( D ` E ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( D ` x ) = .0. <-> ( D ` E ) = .0. ) )
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = E -> ( ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) <-> ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = E -> ( A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) <-> A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) ) )
23		neeq1 2856	. . . . . . . 8 |- ( y = F -> ( y =/= z <-> F =/= z ) )
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = F -> ( y E w ) = ( F E w ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( y = F -> ( ( y E w ) = ( z E w ) <-> ( F E w ) = ( z E w ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = F -> ( A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) <-> A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) )
27	23, 26	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = F -> ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) <-> ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) ) )
28	27	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( y = F -> ( ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) <-> ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) ) )
29	28	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = F -> ( A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) <-> A. z e. N ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) ) )
30	22, 29	rspc2va 3323	. . . 4 |- ( ( ( E e. B /\ F e. N ) /\ A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) ) -> A. z e. N ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) )
31	9, 10, 13, 30	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> A. z e. N ( ( F =/= z /\ A. w e. N ( F E w ) = ( z E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) )
32		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> G e. N )
33	8, 31, 32	rspcdva 3316	. 2 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> ( ( F =/= G /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) -> ( D ` E ) = .0. ) )
34	1, 2, 33	mp2and 715	1 |- ( ( ( ph /\ E e. B /\ A. w e. N ( F E w ) = ( G E w ) ) /\ ( F e. N /\ G e. N /\ F =/= G ) ) -> ( D ` E ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   {csn 4177   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  mdetunilem2  20419  mdetuni0  20427