Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgmhmpropd Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem mgmhmpropd 41785
Description: Magma homomorphism depends only on the operation of structures. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmhmpropd.a |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
mgmhmpropd.b |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
mgmhmpropd.c |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mgmhmpropd.d |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
mgmhmpropd.0 |- ( ph -> B =/= (/) )
mgmhmpropd.C |- ( ph -> C =/= (/) )
mgmhmpropd.e |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
mgmhmpropd.f |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mgmhmpropd |- ( ph -> ( J MgmHom K ) = ( L MgmHom M ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, C, y   x, J, y   x, L, y   ph, x, y   x, K, y   x, M, y
Proof of Theorem mgmhmpropd
Dummy variables w z f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
32adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
4 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B --> C /\ x e. B ) -> ( f ` x ) e. C )
5 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B --> C /\ y e. B ) -> ( f ` y ) e. C )
64, 5anim12dan 882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) )
7 mgmhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
87ralrimivva 2971 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
9 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) y ) )
10 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) ) )
12 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) z ) )
13 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( w ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) )
1511, 14cbvral2v 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
168, 15sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
17 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) )
18 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` x ) -> ( ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) ) )
20 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) )
21 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 3323 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) /\ A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2524anassrs 680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
263, 25eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
27262ralbidva 2988 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2827adantrl 752 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
29 mgmhmpropd.a . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
30 raleq 3138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3130raleqbi1dv 3146 . . . . . . . . . . 11 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
34 mgmhmpropd.c . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
35 raleq 3138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3635raleqbi1dv 3146 . . . . . . . . . . 11 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3837adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 298 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
4039anassrs 680 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
4140pm5.32da 673 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) )
42 mgmhmpropd.b . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
4329, 42feq23d 6040 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
4443adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
4544anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) )
46 mgmhmpropd.d . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
4734, 46feq23d 6040 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
4847adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
4948anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : B --> C /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) )
5041, 45, 493bitr3d 298 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) )
5150pm5.32da 673 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
52 mgmhmpropd.0 . . . . . . 7 |- ( ph -> B =/= (/) )
5329, 34, 52, 1mgmpropd 41775 . . . . . 6 |- ( ph -> ( J e. Mgm <-> L e. Mgm ) )
54 mgmhmpropd.C . . . . . . 7 |- ( ph -> C =/= (/) )
5542, 46, 54, 7mgmpropd 41775 . . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. Mgm <-> M e. Mgm ) )
5653, 55anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) <-> ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) ) )
5756anbi1d 741 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
5851, 57bitrd 268 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
59 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` J ) = ( Base ` J )
60 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
61 eqid 2622 . . . 4 |- ( +g ` J ) = ( +g ` J )
62 eqid 2622 . . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
6359, 60, 61, 62ismgmhm 41783 . . 3 |- ( f e. ( J MgmHom K ) <-> ( ( J e. Mgm /\ K e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) ) )
64 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
65 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
66 eqid 2622 . . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
67 eqid 2622 . . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6864, 65, 66, 67ismgmhm 41783 . . 3 |- ( f e. ( L MgmHom M ) <-> ( ( L e. Mgm /\ M e. Mgm ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) ) )
6958, 63, 683bitr4g 303 . 2 |- ( ph -> ( f e. ( J MgmHom K ) <-> f e. ( L MgmHom M ) ) )
7069eqrdv 2620 1 |- ( ph -> ( J MgmHom K ) = ( L MgmHom M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   MgmHom cmgmhm 41777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-mgm 17242  df-mgmhm 41779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator