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Theorem mirreu3 25549
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p |- P = ( Base ` G )
mirreu.d |- .- = ( dist ` G )
mirreu.i |- I = (Itv ` G )
mirreu.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
mirreu.a |- ( ph -> A e. P )
mirreu.m |- ( ph -> M e. P )
Assertion
Ref Expression
mirreu3 |- ( ph -> E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
Distinct variable groups:   .- , b   A, b   I, b   M, b   P, b   ph, b
Allowed substitution hint:   G( b)
Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
21adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A e. P )
3 eqidd 2623 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A = M ) -> ( M .- A ) = ( M .- A ) )
4 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A = M )
5 mirreu.p . . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
6 mirreu.d . . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
7 mirreu.i . . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
8 mirreu.g . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TarskiG )
98adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = M ) -> G e. TarskiG )
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 25382 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A e. ( A I A ) )
114, 10eqeltrrd 2702 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A = M ) -> M e. ( A I A ) )
12 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
1312eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( b = A -> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) <-> ( M .- A ) = ( M .- A ) ) )
14 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( b I A ) = ( A I A ) )
1514eleq2d 2687 . . . . . . 7 |- ( b = A -> ( M e. ( b I A ) <-> M e. ( A I A ) ) )
1613, 15anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( b = A -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( ( M .- A ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I A ) ) ) )
1716rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( A e. P /\ ( ( M .- A ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I A ) ) ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
182, 3, 11, 17syl12anc 1324 . . . 4 |- ( ( ph /\ A = M ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
198ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
20 mirreu.m . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. P )
2120ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. P )
22 simplrl 800 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b e. P )
23 simprll 802 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
24 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A = M )
2524oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- A ) = ( M .- M ) )
2623, 25eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- M ) )
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 25362 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M = b )
28 simplrr 801 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> c e. P )
29 simprrl 804 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- A ) )
3029, 25eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- M ) )
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 25362 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M = c )
3227, 31eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b = c )
3332ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) -> ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
3433ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
3518, 34jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ A = M ) -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
368adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> G e. TarskiG )
371adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> A e. P )
3820adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> M e. P )
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 25363 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) )
40 ancom 466 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I b ) ) )
418adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> G e. TarskiG )
421adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> A e. P )
4320adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> M e. P )
44 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> b e. P )
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 25384 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( M e. ( A I b ) <-> M e. ( b I A ) ) )
4645anbi2d 740 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I b ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
4740, 46syl5bb 272 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
4847rexbidva 3049 . . . . . 6 |- ( ph -> ( E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
4948adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> ( E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
5039, 49mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
518ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
5220ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. P )
531ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A e. P )
54 simplrl 800 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b e. P )
55 simplrr 801 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> c e. P )
56 simpllr 799 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A =/= M )
57 simprlr 803 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( b I A ) )
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 25383 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( A I b ) )
59 simprrr 805 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( c I A ) )
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 25383 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( A I c ) )
61 simprll 802 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
62 simprrl 804 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- A ) )
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 25381 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b = c )
6463ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) -> ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
6564ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
6650, 65jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
6735, 66pm2.61dane 2881 . 2 |- ( ph -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
68 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( b = c -> ( M .- b ) = ( M .- c ) )
6968eqeq1d 2624 . . . 4 |- ( b = c -> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) <-> ( M .- c ) = ( M .- A ) ) )
70 oveq1 6657 . . . . 5 |- ( b = c -> ( b I A ) = ( c I A ) )
7170eleq2d 2687 . . . 4 |- ( b = c -> ( M e. ( b I A ) <-> M e. ( c I A ) ) )
7269, 71anbi12d 747 . . 3 |- ( b = c -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) )
7372reu4 3400 . 2 |- ( E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
7467, 73sylibr 224 1 |- ( ph -> E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352
This theorem is referenced by:  mircgr  25552  mirbtwn  25553  ismir  25554  mirf  25555  mireq  25560
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