Theorem mirval 25550

Description: Value of the point inversion function S. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	|- P = ( Base ` G )
mirval.d	|- .- = ( dist ` G )
mirval.i	|- I = (Itv ` G )
mirval.l	|- L = (LineG ` G )
mirval.s	|- S = (pInvG ` G )
mirval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
mirval.a	|- ( ph -> A e. P )

Assertion

Ref	Expression
mirval	|- ( ph -> ( S ` A ) = ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   y, G, z   y, I, z   y, P, z   ph, y, z   y, .- , z

Allowed substitution hints:   S( y, z)   L( y, z)

Proof of Theorem mirval

Dummy variables x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.s	. . 3 |- S = (pInvG ` G )
2		df-mir 25548	. . . . 5 |- pInvG = ( g e. _V |-> ( x e. ( Base ` g ) |-> ( y e. ( Base ` g ) |-> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) ) ) )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pInvG = ( g e. _V |-> ( x e. ( Base ` g ) |-> ( y e. ( Base ` g ) |-> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) ) ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
5		mirval.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = P )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = G -> ( dist ` g ) = ( dist ` G ) )
8		mirval.d	. . . . . . . . . . . 12 |- .- = ( dist ` G )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( dist ` g ) = .- )
10	9	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x ( dist ` g ) z ) = ( x .- z ) )
11	9	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x ( dist ` g ) y ) = ( x .- y ) )
12	10, 11	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) <-> ( x .- z ) = ( x .- y ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = G -> (Itv ` g ) = (Itv ` G ) )
14		mirval.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = (Itv ` G )
15	13, 14	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> (Itv ` g ) = I )
16	15	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( z (Itv ` g ) y ) = ( z I y ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( x e. ( z (Itv ` g ) y ) <-> x e. ( z I y ) ) )
18	12, 17	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) <-> ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) )
19	6, 18	riotaeqbidv 6614	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) = ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) )
20	6, 19	mpteq12dv 4733	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( y e. ( Base ` g ) |-> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) ) = ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) )
21	6, 20	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( g = G -> ( x e. ( Base ` g ) |-> ( y e. ( Base ` g ) |-> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) ) ) = ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) )
22	21	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ g = G ) -> ( x e. ( Base ` g ) |-> ( y e. ( Base ` g ) |-> ( iota_ z e. ( Base ` g ) ( ( x ( dist ` g ) z ) = ( x ( dist ` g ) y ) /\ x e. ( z (Itv ` g ) y ) ) ) ) ) = ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) )
23		mirval.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
24		elex 3212	. . . . 5 |- ( G e. TarskiG -> G e. _V )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
26		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) e. _V
27	5, 26	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- P e. _V
28	27	mptex 6486	. . . . 5 |- ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) e. _V )
30	3, 22, 25, 29	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ph -> (pInvG ` G ) = ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) )
31	1, 30	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> S = ( x e. P |-> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) ) )
32		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> x = A )
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( x .- z ) = ( A .- z ) )
34	32	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( x .- y ) = ( A .- y ) )
35	33, 34	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( ( x .- z ) = ( x .- y ) <-> ( A .- z ) = ( A .- y ) ) )
36	32	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( x e. ( z I y ) <-> A e. ( z I y ) ) )
37	35, 36	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( ( x = A /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) <-> ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) )
38	37	riotabidva 6627	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y e. P ) -> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) = ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) )
39	38	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( x = A -> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) = ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) )
40	39	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( x .- z ) = ( x .- y ) /\ x e. ( z I y ) ) ) ) = ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) )
41		mirval.a	. 2 |- ( ph -> A e. P )
42	27	mptex 6486	. . 3 |- ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) e. _V
43	42	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) e. _V )
44	31, 40, 41, 43	fvmptd 6288	1 |- ( ph -> ( S ` A ) = ( y e. P |-> ( iota_ z e. P ( ( A .- z ) = ( A .- y ) /\ A e. ( z I y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  pInvGcmir 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-mir 25548

This theorem is referenced by:  mirfv  25551  mirf  25555