Theorem mpt22eqb 6769

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 6767. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mpt22eqb	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   D( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem mpt22eqb

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm13.183 3344	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
2	1	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
3		ralbi 3068	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
5	4	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
6		ralbi 3068	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
8		df-mpt2 6655	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
9		df-mpt2 6655	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> D ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) }
10	8, 9	eqeq12i 2636	. . 3 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } )
11		eqoprab2b 6713	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } <-> A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
12		pm5.32 668	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
13	12	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
14		19.21v 1868	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
15	13, 14	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
16	15	2albii 1748	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
17		r2al 2939	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
18	16, 17	bitr4i 267	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
19	10, 11, 18	3bitri 286	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
20	7, 19	syl6rbbr 279	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  homfeq  16354  comfeq  16366