Theorem neicvgel1 38417

Description: A subset being an element of a neighborhood of a point is equivalent to the complement of that subset not being a element of the convergent of that point. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neicvg.o	|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
neicvg.p	|- P = ( n e. _V |-> ( p e. ( ~P n ^m ~P n ) |-> ( o e. ~P n |-> ( n \ ( p ` ( n \ o ) ) ) ) ) )
neicvg.d	|- D = ( P ` B )
neicvg.f	|- F = ( ~P B O B )
neicvg.g	|- G = ( B O ~P B )
neicvg.h	|- H = ( F o. ( D o. G ) )
neicvg.r	|- ( ph -> N H M )
neicvgel.x	|- ( ph -> X e. B )
neicvgel.s	|- ( ph -> S e. ~P B )

Assertion

Ref	Expression
neicvgel1	|- ( ph -> ( S e. ( N ` X ) <-> -. ( B \ S ) e. ( M ` X ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m   B, n, o, p   D, i, j, k, l, m   D, n, o, p   i, F, j, k, l   n, F, o, p   i, G, j, k, l, m   n, G, o, p   i, M, j, k, l   n, M, o, p   i, N, j, k, l, m   n, N, o, p   S, m   S, o   X, l, m   ph, i, j, k, l   ph, n, o, p

Allowed substitution hints:   ph( m)   P( i, j, k, m, n, o, p, l)   S( i, j, k, n, p, l)   F( m)   H( i, j, k, m, n, o, p, l)   M( m)   O( i, j, k, m, n, o, p, l)   X( i, j, k, n, o, p)

Proof of Theorem neicvgel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neicvg.d	. . . 4 |- D = ( P ` B )
2		neicvg.h	. . . 4 |- H = ( F o. ( D o. G ) )
3		neicvg.r	. . . 4 |- ( ph -> N H M )
4	1, 2, 3	neicvgbex 38410	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
5		neicvg.o	. . . . . 6 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
6		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> B e. _V )
7		pwexg 4850	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ~P B e. _V )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> ~P B e. _V )
9		neicvg.f	. . . . . 6 |- F = ( ~P B O B )
10	5, 8, 6, 9	fsovf1od 38310	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> F : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P ~P B ^m B ) )
11		f1ofn 6138	. . . . 5 |- ( F : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P ~P B ^m B ) -> F Fn ( ~P B ^m ~P B ) )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> F Fn ( ~P B ^m ~P B ) )
13		neicvg.p	. . . . . 6 |- P = ( n e. _V |-> ( p e. ( ~P n ^m ~P n ) |-> ( o e. ~P n |-> ( n \ ( p ` ( n \ o ) ) ) ) ) )
14	13, 1, 6	dssmapf1od 38315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) )
15		f1of 6137	. . . . 5 |- ( D : ( ~P B ^m ~P B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> D : ( ~P B ^m ~P B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
17		neicvg.g	. . . . 5 |- G = ( B O ~P B )
18	5, 6, 8, 17	fsovfd 38306	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> G : ( ~P ~P B ^m B ) --> ( ~P B ^m ~P B ) )
19	2	breqi 4659	. . . . . 6 |- ( N H M <-> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
20	3, 19	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
21	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> N ( F o. ( D o. G ) ) M )
22	12, 16, 18, 21	brcofffn 38329	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) )
23	4, 22	mpdan 702	. 2 |- ( ph -> ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) )
24		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) )
25		neicvgel.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> X e. B )
27		neicvgel.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ~P B )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> S e. ~P B )
29	13, 1, 24, 26, 28	ntrclselnel1 38355	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( X e. ( ( G ` N ) ` S ) <-> -. X e. ( ( D ` ( G ` N ) ) ` ( B \ S ) ) ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P B O B ) = ( ~P B O B )
31		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> N G ( G ` N ) )
32	17	breqi 4659	. . . . . . 7 |- ( N G ( G ` N ) <-> N ( B O ~P B ) ( G ` N ) )
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( N G ( G ` N ) <-> N ( B O ~P B ) ( G ` N ) ) )
34	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> B e. _V )
35		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B e. _V )
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( B O ~P B ) = ( B O ~P B )
37	5, 35, 7, 36	fsovf1od 38310	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> ( B O ~P B ) : ( ~P ~P B ^m B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( B O ~P B ) : ( ~P ~P B ^m B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) )
39		f1orel 6140	. . . . . . 7 |- ( ( B O ~P B ) : ( ~P ~P B ^m B ) -1-1-onto-> ( ~P B ^m ~P B ) -> Rel ( B O ~P B ) )
40		relbrcnvg 5504	. . . . . . 7 |- ( Rel ( B O ~P B ) -> ( ( G ` N ) `' ( B O ~P B ) N <-> N ( B O ~P B ) ( G ` N ) ) )
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( ( G ` N ) `' ( B O ~P B ) N <-> N ( B O ~P B ) ( G ` N ) ) )
42	5, 35, 7, 36, 30	fsovcnvd 38308	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> `' ( B O ~P B ) = ( ~P B O B ) )
43	42	breqd 4664	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( ( G ` N ) `' ( B O ~P B ) N <-> ( G ` N ) ( ~P B O B ) N ) )
44	34, 43	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( ( G ` N ) `' ( B O ~P B ) N <-> ( G ` N ) ( ~P B O B ) N ) )
45	33, 41, 44	3bitr2d 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( N G ( G ` N ) <-> ( G ` N ) ( ~P B O B ) N ) )
46	31, 45	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( G ` N ) ( ~P B O B ) N )
47	5, 30, 46, 26, 28	ntrneiel 38379	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( X e. ( ( G ` N ) ` S ) <-> S e. ( N ` X ) ) )
48		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( D ` ( G ` N ) ) F M )
49		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B \ S ) C_ B )
50	4, 49	sselpwd 4807	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B \ S ) e. ~P B )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( B \ S ) e. ~P B )
52	5, 9, 48, 26, 51	ntrneiel 38379	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( X e. ( ( D ` ( G ` N ) ) ` ( B \ S ) ) <-> ( B \ S ) e. ( M ` X ) ) )
53	52	notbid 308	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( -. X e. ( ( D ` ( G ` N ) ) ` ( B \ S ) ) <-> -. ( B \ S ) e. ( M ` X ) ) )
54	29, 47, 53	3bitr3d 298	. 2 |- ( ( ph /\ ( N G ( G ` N ) /\ ( G ` N ) D ( D ` ( G ` N ) ) /\ ( D ` ( G ` N ) ) F M ) ) -> ( S e. ( N ` X ) <-> -. ( B \ S ) e. ( M ` X ) ) )
55	23, 54	mpdan 702	1 |- ( ph -> ( S e. ( N ` X ) <-> -. ( B \ S ) e. ( M ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  neicvgel2  38418  neicvgfv  38419