Theorem oprres 6802

Description: The restriction of an operation is an operation. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprres.v	|- ( ( ph /\ x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x F y ) = ( x G y ) )
oprres.s	|- ( ph -> Y C_ X )
oprres.f	|- ( ph -> F : ( Y X. Y ) --> R )
oprres.g	|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> S )

Assertion

Ref	Expression
oprres	|- ( ph -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   x, Y, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem oprres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprres.v	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x F y ) = ( x G y ) )
2	1	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x G y ) )
3		ovres 6800	. . . . . 6 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) )
5	2, 4	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) )
6	5	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) )
7		eqid 2622	. . 3 |- ( Y X. Y ) = ( Y X. Y )
8	6, 7	jctil 560	. 2 |- ( ph -> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) )
9		oprres.f	. . . 4 |- ( ph -> F : ( Y X. Y ) --> R )
10	9	ffnd 6046	. . 3 |- ( ph -> F Fn ( Y X. Y ) )
11		oprres.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( X X. X ) --> S )
12	11	ffnd 6046	. . . 4 |- ( ph -> G Fn ( X X. X ) )
13		oprres.s	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ X )
14		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( Y C_ X /\ Y C_ X ) -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) )
15	13, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) )
16		fnssres 6004	. . . 4 |- ( ( G Fn ( X X. X ) /\ ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) )
17	12, 15, 16	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) )
18		eqfnov 6766	. . 3 |- ( ( F Fn ( Y X. Y ) /\ ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) )
20	8, 19	mpbird 247	1 |- ( ph -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by: (None)