Theorem ovres 6800

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5148	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )
2		fvres 6207	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
4		df-ov 6653	. 2 |- ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. )
5		df-ov 6653	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2681	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-res 5126  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  ovresd  6801  oprres  6802  oprssov  6803  ofmresval  6910  cantnfval2  8566  mulnzcnopr  10673  prdsdsval3  16145  frmdplusg  17391  frmdadd  17392  grpissubg  17614  gaid  17732  gass  17734  gasubg  17735  mplsubrglem  19439  mamures  20196  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  pmatcollpw3lem  20588  tsmsxplem1  21956  tsmsxplem2  21957  xmetres2  22166  ressprdsds  22176  blres  22236  xmetresbl  22242  mscl  22266  xmscl  22267  xmsge0  22268  xmseq0  22269  nmfval2  22395  nmval2  22396  isngp3  22402  ngpds  22408  ngpocelbl  22508  xrsdsre  22613  divcn  22671  cncfmet  22711  cfilresi  23093  cfilres  23094  dvdsmulf1o  24920  sspgval  27584  sspsval  27586  sspmlem  27587  hhssabloilem  28118  hhssabloi  28119  hhssnv  28121  hhssmetdval  28135  raddcn  29975  xrge0pluscn  29986  cvmlift2lem9  31293  icoreval  33201  icoreelrnab  33202  equivbnd2  33591  ismtyres  33607  iccbnd  33639  exidreslem  33676  divrngcl  33756  isdrngo2  33757  rnghmresel  41964  rnghmsscmap2  41973  rnghmsscmap  41974  rnghmsubcsetclem2  41976  rngcifuestrc  41997  rhmresel  42010  rhmsscmap2  42019  rhmsscmap  42020  rhmsubcsetclem2  42022  rhmsscrnghm  42026  rhmsubcrngclem2  42028  rhmsubclem4  42089