Theorem ordtypecbv 8422

Description: Lemma for ordtype 8437. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- F = recs ( G )
ordtypelem.2	|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3	|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )

Assertion

Ref	Expression
ordtypecbv	|- recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = F

Distinct variable groups:   f, r, s, u, v, C   h, j, u, v, w, f, i, y, R, r, s   A, h, j, r, s, u, v, w, y

Allowed substitution hints:   A( f, i)   C( y, w, h, i, j)   F( y, w, v, u, f, h, i, j, s, r)   G( y, w, v, u, f, h, i, j, s, r)

Proof of Theorem ordtypecbv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.1	. 2 |- F = recs ( G )
2		ordtypelem.3	. . . 4 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
3		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( u = r -> ( u R v <-> r R v ) )
4	3	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( u = r -> ( -. u R v <-> -. r R v ) )
5	4	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. C -. u R v <-> A. r e. C -. r R v )
6		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( v = s -> ( r R v <-> r R s ) )
7	6	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( v = s -> ( -. r R v <-> -. r R s ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( v = s -> ( A. r e. C -. r R v <-> A. r e. C -. r R s ) )
9	5, 8	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( v = s -> ( A. u e. C -. u R v <-> A. r e. C -. r R s ) )
10	9	cbvriotav 6622	. . . . . 6 |- ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) = ( iota_ s e. C A. r e. C -. r R s )
11		ordtypelem.2	. . . . . . . . 9 |- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
12		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( j R w <-> i R w ) )
13	12	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. ran h j R w <-> A. i e. ran h i R w )
14		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( i R w <-> i R y ) )
15	14	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( A. i e. ran h i R w <-> A. i e. ran h i R y ) )
16	13, 15	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. i e. ran h i R y ) )
17	16	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 |- { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { y e. A | A. i e. ran h i R y }
18	11, 17	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- C = { y e. A | A. i e. ran h i R y }
19		rneq 5351	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ran h = ran f )
20	19	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( A. i e. ran h i R y <-> A. i e. ran f i R y ) )
21	20	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> { y e. A | A. i e. ran h i R y } = { y e. A | A. i e. ran f i R y } )
22	18, 21	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( h = f -> C = { y e. A | A. i e. ran f i R y } )
23	22	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( h = f -> ( A. r e. C -. r R s <-> A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) )
24	22, 23	riotaeqbidv 6614	. . . . . 6 |- ( h = f -> ( iota_ s e. C A. r e. C -. r R s ) = ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) )
25	10, 24	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( h = f -> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) = ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) )
26	25	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) ) = ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) )
27	2, 26	eqtri 2644	. . 3 |- G = ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) )
28		recseq 7470	. . 3 |- ( G = ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) -> recs ( G ) = recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. 2 |- recs ( G ) = recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) )
30	1, 29	eqtr2i 2645	1 |- recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = F

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   iota_crio 6610  recscrecs 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  oicl  8434  oif  8435  oiiso2  8436  ordtype  8437  oiiniseg  8438  ordtype2  8439