Theorem oicl 8434

Description: The order type of the well-order R on A is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
oicl	|- Ord dom F

Proof of Theorem oicl

Dummy variables u t v x h j w z f i r s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
4	1, 2, 3	ordtypecbv 8422	. . . 4 |- recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
5		eqid 2622	. . . 4 |- { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t }
6		oicl.1	. . . 4 |- F = OrdIso ( R , A )
7		simpl 473	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R We A )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R Se A )
9	4, 2, 3, 5, 6, 7, 8	ordtypelem5 8427	. . 3 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F /\ F : dom F --> A ) )
10	9	simpld 475	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
11		ord0 5777	. . 3 |- Ord (/)
12	6	oi0 8433	. . . . . 6 |- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> F = (/) )
13	12	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = dom (/) )
14		dm0 5339	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = (/) )
16		ordeq 5730	. . . 4 |- ( dom F = (/) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
18	11, 17	mpbiri 248	. 2 |- ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
19	10, 18	pm2.61i 176	1 |- Ord dom F

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   -->wf 5884   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  oion  8441  oieu  8444  oismo  8445  oiid  8446  wofib  8450  cantnflt  8569  cantnfp1lem3  8577  cantnflem1b  8583  cantnflem1  8586  wemapwe  8594  cnfcomlem  8596  cnfcom  8597  cnfcom2lem  8598  infxpenlem  8836  hsmexlem1  9248  fpwwe2lem8  9459  fpwwe2lem9  9460  fpwwe2lem10  9461