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Theorem pclclN 35177
Description: Closure of the projective subspace closure function. (Contributed by NM, 8-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfval.a |- A = ( Atoms ` K )
pclfval.s |- S = ( PSubSp ` K )
pclfval.c |- U = ( PCl ` K )
Assertion
Ref Expression
pclclN |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) e. S )
Proof of Theorem pclclN
Dummy variables y q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclfval.a . . 3 |- A = ( Atoms ` K )
2 pclfval.s . . 3 |- S = ( PSubSp ` K )
3 pclfval.c . . 3 |- U = ( PCl ` K )
41, 2, 3pclvalN 35176 . 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) = |^| { y e. S | X C_ y } )
51, 2atpsubN 35039 . . . 4 |- ( K e. V -> A e. S )
6 sseq2 3627 . . . . 5 |- ( y = A -> ( X C_ y <-> X C_ A ) )
76intminss 4503 . . . 4 |- ( ( A e. S /\ X C_ A ) -> |^| { y e. S | X C_ y } C_ A )
85, 7sylan 488 . . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> |^| { y e. S | X C_ y } C_ A )
9 r19.26 3064 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. S ( ( X C_ y -> p e. y ) /\ ( X C_ y -> q e. y ) ) <-> ( A. y e. S ( X C_ y -> p e. y ) /\ A. y e. S ( X C_ y -> q e. y ) ) )
10 jcab 907 . . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) <-> ( ( X C_ y -> p e. y ) /\ ( X C_ y -> q e. y ) ) )
1110ralbii 2980 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) <-> A. y e. S ( ( X C_ y -> p e. y ) /\ ( X C_ y -> q e. y ) ) )
12 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- p e. _V
1312elintrab 4488 . . . . . . . . 9 |- ( p e. |^| { y e. S | X C_ y } <-> A. y e. S ( X C_ y -> p e. y ) )
14 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- q e. _V
1514elintrab 4488 . . . . . . . . 9 |- ( q e. |^| { y e. S | X C_ y } <-> A. y e. S ( X C_ y -> q e. y ) )
1613, 15anbi12i 733 . . . . . . . 8 |- ( ( p e. |^| { y e. S | X C_ y } /\ q e. |^| { y e. S | X C_ y } ) <-> ( A. y e. S ( X C_ y -> p e. y ) /\ A. y e. S ( X C_ y -> q e. y ) ) )
179, 11, 163bitr4ri 293 . . . . . . 7 |- ( ( p e. |^| { y e. S | X C_ y } /\ q e. |^| { y e. S | X C_ y } ) <-> A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) )
18 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> K e. V )
19 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> y e. S )
20 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> r e. A )
21 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> p e. y )
22 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> q e. y )
23 simpll2 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) )
24 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
25 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
2624, 25, 1, 2psubspi2N 35034 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. V /\ y e. S /\ r e. A ) /\ ( p e. y /\ q e. y /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) ) ) -> r e. y )
2718, 19, 20, 21, 22, 23, 26syl33anc 1341 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) /\ ( p e. y /\ q e. y ) ) -> r e. y )
2827ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) -> ( ( p e. y /\ q e. y ) -> r e. y ) )
2928imim2d 57 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) /\ y e. S ) -> ( ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) -> ( X C_ y -> r e. y ) ) )
3029ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) -> ( A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) -> A. y e. S ( X C_ y -> r e. y ) ) )
31 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
3231elintrab 4488 . . . . . . . . . 10 |- ( r e. |^| { y e. S | X C_ y } <-> A. y e. S ( X C_ y -> r e. y ) )
3330, 32syl6ibr 242 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. V /\ r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ r e. A ) -> ( A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) )
34333exp 1264 . . . . . . . 8 |- ( K e. V -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. A -> ( A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) ) )
3534com24 95 . . . . . . 7 |- ( K e. V -> ( A. y e. S ( X C_ y -> ( p e. y /\ q e. y ) ) -> ( r e. A -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) ) )
3617, 35syl5bi 232 . . . . . 6 |- ( K e. V -> ( ( p e. |^| { y e. S | X C_ y } /\ q e. |^| { y e. S | X C_ y } ) -> ( r e. A -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) ) )
3736ralrimdv 2968 . . . . 5 |- ( K e. V -> ( ( p e. |^| { y e. S | X C_ y } /\ q e. |^| { y e. S | X C_ y } ) -> A. r e. A ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) )
3837ralrimivv 2970 . . . 4 |- ( K e. V -> A. p e. |^| { y e. S | X C_ y } A. q e. |^| { y e. S | X C_ y } A. r e. A ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) )
3938adantr 481 . . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> A. p e. |^| { y e. S | X C_ y } A. q e. |^| { y e. S | X C_ y } A. r e. A ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) )
4024, 25, 1, 2ispsubsp 35031 . . . 4 |- ( K e. V -> ( |^| { y e. S | X C_ y } e. S <-> ( |^| { y e. S | X C_ y } C_ A /\ A. p e. |^| { y e. S | X C_ y } A. q e. |^| { y e. S | X C_ y } A. r e. A ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) ) )
4140adantr 481 . . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> ( |^| { y e. S | X C_ y } e. S <-> ( |^| { y e. S | X C_ y } C_ A /\ A. p e. |^| { y e. S | X C_ y } A. q e. |^| { y e. S | X C_ y } A. r e. A ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. |^| { y e. S | X C_ y } ) ) ) )
428, 39, 41mpbir2and 957 . 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> |^| { y e. S | X C_ y } e. S )
434, 42eqeltrd 2701 1 |- ( ( K e. V /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) e. S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   PSubSpcpsubsp 34782   PClcpclN 35173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-psubsp 34789  df-pclN 35174
This theorem is referenced by:  pclunN  35184  pclfinN  35186
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