Theorem pclunN 35184

Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclun.a	|- A = ( Atoms ` K )
pclun.p	|- .+ = ( +P ` K )
pclun.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pclunN	|- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) = ( U ` ( X .+ Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> K e. V )
2		pclun.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		pclun.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4	2, 3	paddunssN 35094	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( X .+ Y ) )
5	2, 3	paddssat 35100	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
6		pclun.c	. . . 4 |- U = ( PCl ` K )
7	2, 6	pclssN 35180	. . 3 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ ( X .+ Y ) /\ ( X .+ Y ) C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ ( U ` ( X .+ Y ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ ( U ` ( X .+ Y ) ) )
9		unss 3787	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) <-> ( X u. Y ) C_ A )
10	9	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
11	10	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ A )
12	2, 6	pclssidN 35181	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
14		unss 3787	. . . . . 6 |- ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X u. Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
16		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> X C_ A )
17		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> Y C_ A )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( PSubSp ` K ) = ( PSubSp ` K )
19	2, 18, 6	pclclN 35177	. . . . . . 7 |- ( ( K e. V /\ ( X u. Y ) C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
20	1, 11, 19	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
21	2, 18, 3	paddss 35131	. . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ ( X C_ A /\ Y C_ A /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) ) -> ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
22	1, 16, 17, 20, 21	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ Y C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) <-> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
23	15, 22	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
24	2, 18	psubssat 35040	. . . . 5 |- ( ( K e. V /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A )
25	1, 20, 24	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A )
26	2, 6	pclssN 35180	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( X .+ Y ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) /\ ( U ` ( X u. Y ) ) C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
27	1, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) )
28	18, 6	pclidN 35182	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( U ` ( X u. Y ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) = ( U ` ( X u. Y ) ) )
29	1, 20, 28	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( U ` ( X u. Y ) ) ) = ( U ` ( X u. Y ) ) )
30	27, 29	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X .+ Y ) ) C_ ( U ` ( X u. Y ) ) )
31	8, 30	eqssd 3620	1 |- ( ( K e. V /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( U ` ( X u. Y ) ) = ( U ` ( X .+ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Atomscatm 34550   PSubSpcpsubsp 34782   +Pcpadd 35081   PClcpclN 35173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-psubsp 34789  df-padd 35082  df-pclN 35174

This theorem is referenced by:  pclun2N  35185