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Theorem pl42lem3N 35267
Description: Lemma for pl42N 35269. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b |- B = ( Base ` K )
pl42lem.l |- .<_ = ( le ` K )
pl42lem.j |- .\/ = ( join ` K )
pl42lem.m |- ./\ = ( meet ` K )
pl42lem.o |- ._|_ = ( oc ` K )
pl42lem.f |- F = ( pmap ` K )
pl42lem.p |- .+ = ( +P ` K )
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )
Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1064 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. HL )
2 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> X e. B )
3 pl42lem.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
4 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5 pl42lem.f . . . . . 6 |- F = ( pmap ` K )
63, 4, 5pmapssat 35045 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
71, 2, 6syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) )
8 simpl3 1066 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Y e. B )
93, 4, 5pmapssat 35045 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
101, 8, 9syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
11 pl42lem.p . . . . 5 |- .+ = ( +P ` K )
124, 11paddssat 35100 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
131, 7, 10, 12syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
14 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> W e. B )
153, 4, 5pmapssat 35045 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) )
161, 14, 15syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) )
17 inss1 3833 . . . 4 |- ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) )
184, 11paddss1 35103 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) ) )
1917, 18mpi 20 . . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) )
201, 13, 16, 19syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) )
21 simpr3 1069 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> V e. B )
223, 4, 5pmapssat 35045 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ V e. B ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) )
231, 21, 22syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) )
244, 11sspadd2 35102 . . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) )
251, 23, 13, 24syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) )
26 ss2in 3840 . 2 |- ( ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) /\ ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )
2720, 25, 26syl2anc 693 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783   +Pcpadd 35081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-pmap 34790  df-padd 35082
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  35268
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