Theorem posi 16950

Description: Lemma for poset properties. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	|- B = ( Base ` K )
posi.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
posi	|- ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )

Proof of Theorem posi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posi.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		posi.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3	1, 2	ispos 16947	. . 3 |- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
4	3	simprbi 480	. 2 |- ( K e. Poset -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
5		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .<_ x <-> X .<_ x ) )
6		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = X -> ( X .<_ x <-> X .<_ X ) )
7	5, 6	bitrd 268	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .<_ x <-> X .<_ X ) )
8		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
9		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( y .<_ x <-> y .<_ X ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) <-> ( X .<_ y /\ y .<_ X ) ) )
11		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
12	10, 11	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) <-> ( ( X .<_ y /\ y .<_ X ) -> X = y ) ) )
13	8	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ y /\ y .<_ z ) ) )
14		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .<_ z <-> X .<_ z ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) <-> ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) )
16	7, 12, 15	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( x = X -> ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ X ) -> X = y ) /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) ) )
17		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
18		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( y .<_ X <-> Y .<_ X ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( X .<_ y /\ y .<_ X ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) ) )
20		eqeq2 2633	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( X = y <-> X = Y ) )
21	19, 20	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( ( X .<_ y /\ y .<_ X ) -> X = y ) <-> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) ) )
22		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( y .<_ z <-> Y .<_ z ) )
23	17, 22	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) ) )
24	23	imbi1d 331	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) <-> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) )
25	21, 24	3anbi23d 1402	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ X ) -> X = y ) /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) ) )
26		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( Y .<_ z <-> Y .<_ Z ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) ) )
28		breq2 4657	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( X .<_ z <-> X .<_ Z ) )
29	27, 28	imbi12d 334	. . . 4 |- ( z = Z -> ( ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) <-> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )
30	29	3anbi3d 1405	. . 3 |- ( z = Z -> ( ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) ) )
31	16, 25, 30	rspc3v 3325	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) ) )
32	4, 31	mpan9 486	1 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) -> X = Y ) /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-poset 16946

This theorem is referenced by:  posasymb  16952  postr  16953