Theorem preimalegt 40913

Description: The preimage of a left-open, unbounded above interval, is the complement of a right-close, unbounded below interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimalegt.x	|- F/ x ph
preimalegt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
preimalegt.c	|- ( ph -> C e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
preimalegt	|- ( ph -> ( A \ { x e. A | B <_ C } ) = { x e. A | C < B } )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   C( x)

Proof of Theorem preimalegt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimalegt.x	. . 3 |- F/ x ph
2		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) -> x e. A )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> x e. A )
4	2	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) /\ B <_ C ) -> ( x e. A /\ B <_ C ) )
5		rabid 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | B <_ C } <-> ( x e. A /\ B <_ C ) )
6	4, 5	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) /\ B <_ C ) -> x e. { x e. A | B <_ C } )
7		eldifn 3733	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) -> -. x e. { x e. A | B <_ C } )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) /\ B <_ C ) -> -. x e. { x e. A | B <_ C } )
9	6, 8	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) -> -. B <_ C )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> -. B <_ C )
11		preimalegt.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR* )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> C e. RR* )
13		preimalegt.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
14	3, 13	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> B e. RR* )
15	12, 14	xrltnled 39579	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> ( C < B <-> -. B <_ C ) )
16	10, 15	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> C < B )
17	3, 16	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> ( x e. A /\ C < B ) )
18		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. A | C < B } <-> ( x e. A /\ C < B ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) -> x e. { x e. A | C < B } )
20	19	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) -> x e. { x e. A | C < B } ) )
21	18	simplbi 476	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. A | C < B } -> x e. A )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> x e. A )
23	18	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | C < B } -> C < B )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> C < B )
25	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> C e. RR* )
26	22, 13	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> B e. RR* )
27	25, 26	xrltnled 39579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> ( C < B <-> -. B <_ C ) )
28	24, 27	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> -. B <_ C )
29	28	intnand 962	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> -. ( x e. A /\ B <_ C ) )
30	29, 5	sylnibr 319	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> -. x e. { x e. A | B <_ C } )
31	22, 30	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | C < B } ) -> x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) )
32	31	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | C < B } -> x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) ) )
33	20, 32	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) <-> x e. { x e. A | C < B } ) )
34	1, 33	alrimi 2082	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) <-> x e. { x e. A | C < B } ) )
35		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x A
36		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ x { x e. A | B <_ C }
37	35, 36	nfdif 3731	. . 3 |- F/_ x ( A \ { x e. A | B <_ C } )
38		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. A | C < B }
39	37, 38	dfcleqf 39255	. 2 |- ( ( A \ { x e. A | B <_ C } ) = { x e. A | C < B } <-> A. x ( x e. ( A \ { x e. A | B <_ C } ) <-> x e. { x e. A | C < B } ) )
40	34, 39	sylibr 224	1 |- ( ph -> ( A \ { x e. A | B <_ C } ) = { x e. A | C < B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-le 10080

This theorem is referenced by:  salpreimalegt  40920