Theorem salpreimalegt 40920

Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (iii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimalegt.x	|- F/ x ph
salpreimalegt.a	|- F/ a ph
salpreimalegt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
salpreimalegt.u	|- A = U. S
salpreimalegt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
salpreimalegt.p	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. A | B <_ a } e. S )
salpreimalegt.c	|- ( ph -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
salpreimalegt	|- ( ph -> { x e. A | C < B } e. S )

Distinct variable groups:   A, a, x   B, a   C, a, x   S, a

Allowed substitution hints:   ph( x, a)   B( x)   S( x)

Proof of Theorem salpreimalegt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimalegt.u	. . . . . 6 |- A = U. S
2	1	eqcomi 2631	. . . . 5 |- U. S = A
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U. S = A )
4	3	difeq1d 3727	. . 3 |- ( ph -> ( U. S \ { x e. A | B <_ C } ) = ( A \ { x e. A | B <_ C } ) )
5		salpreimalegt.x	. . . 4 |- F/ x ph
6		salpreimalegt.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
7		salpreimalegt.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
8	7	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR* )
9	5, 6, 8	preimalegt 40913	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { x e. A | B <_ C } ) = { x e. A | C < B } )
10	4, 9	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ph -> { x e. A | C < B } = ( U. S \ { x e. A | B <_ C } ) )
11		salpreimalegt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
12	7	ancli 574	. . . 4 |- ( ph -> ( ph /\ C e. RR ) )
13		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ a C
14		salpreimalegt.a	. . . . . . 7 |- F/ a ph
15		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ a C e. RR
16	14, 15	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ a ( ph /\ C e. RR )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ a { x e. A | B <_ C } e. S
18	16, 17	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ a ( ( ph /\ C e. RR ) -> { x e. A | B <_ C } e. S )
19		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( a e. RR <-> C e. RR ) )
20	19	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( a = C -> ( ( ph /\ a e. RR ) <-> ( ph /\ C e. RR ) ) )
21		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( B <_ a <-> B <_ C ) )
22	21	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( a = C -> { x e. A | B <_ a } = { x e. A | B <_ C } )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( a = C -> ( { x e. A | B <_ a } e. S <-> { x e. A | B <_ C } e. S ) )
24	20, 23	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = C -> ( ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. A | B <_ a } e. S ) <-> ( ( ph /\ C e. RR ) -> { x e. A | B <_ C } e. S ) ) )
25		salpreimalegt.p	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. A | B <_ a } e. S )
26	13, 18, 24, 25	vtoclgf 3264	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( ( ph /\ C e. RR ) -> { x e. A | B <_ C } e. S ) )
27	7, 12, 26	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> { x e. A | B <_ C } e. S )
28	11, 27	saldifcld 40565	. 2 |- ( ph -> ( U. S \ { x e. A | B <_ C } ) e. S )
29	10, 28	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> { x e. A | C < B } e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salpreimalelt  40938  issmfgt  40965