Theorem pslem 17206

Description: Lemma for psref 17208 and others. (Contributed by NM, 12-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pslem	|- ( R e. PosetRel -> ( ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) /\ ( A e. U. U. R -> A R A ) /\ ( ( A R B /\ B R A ) -> A = B ) ) )

Proof of Theorem pslem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrel 17203	. . . . . 6 |- ( R e. PosetRel -> Rel R )
2		brrelex12 5155	. . . . . 6 |- ( ( Rel R /\ A R B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3	1, 2	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( R e. PosetRel /\ A R B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
4		brrelex2 5157	. . . . . 6 |- ( ( Rel R /\ B R C ) -> C e. _V )
5	1, 4	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( R e. PosetRel /\ B R C ) -> C e. _V )
6	3, 5	anim12dan 882	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ C e. _V ) )
7		pstr2 17205	. . . . . 6 |- ( R e. PosetRel -> ( R o. R ) C_ R )
8		cotr 5508	. . . . . 6 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
9	7, 8	sylib 208	. . . . 5 |- ( R e. PosetRel -> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
11		simpr 477	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> ( A R B /\ B R C ) )
12		breq12 4658	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x R y <-> A R B ) )
13	12	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( x R y <-> A R B ) )
14		breq12 4658	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = B /\ z = C ) -> ( y R z <-> B R C ) )
15	14	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( y R z <-> B R C ) )
16	13, 15	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( A R B /\ B R C ) ) )
17		breq12 4658	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ z = C ) -> ( x R z <-> A R C ) )
18	17	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( x R z <-> A R C ) )
19	16, 18	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
20	19	spc3gv 3298	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
21	20	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ C e. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
22	6, 10, 11, 21	syl3c 66	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> A R C )
23	22	ex 450	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
24		psref2 17204	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) )
25		asymref2 5513	. . . 4 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
26	25	simplbi 476	. . 3 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) -> A. x e. U. U. R x R x )
27		breq12 4658	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ x = A ) -> ( x R x <-> A R A ) )
28	27	anidms 677	. . . 4 |- ( x = A -> ( x R x <-> A R A ) )
29	28	rspccv 3306	. . 3 |- ( A. x e. U. U. R x R x -> ( A e. U. U. R -> A R A ) )
30	24, 26, 29	3syl 18	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( A e. U. U. R -> A R A ) )
31	3	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R A ) ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
32	25	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) -> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
33	24, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. PosetRel -> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
34	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R A ) ) -> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
35		simpr 477	. . . 4 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R A ) ) -> ( A R B /\ B R A ) )
36		breq12 4658	. . . . . . . 8 |- ( ( y = B /\ x = A ) -> ( y R x <-> B R A ) )
37	36	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( y R x <-> B R A ) )
38	12, 37	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( A R B /\ B R A ) ) )
39		eqeq12 2635	. . . . . 6 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x = y <-> A = B ) )
40	38, 39	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) <-> ( ( A R B /\ B R A ) -> A = B ) ) )
41	40	spc2gv 3296	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) -> ( ( A R B /\ B R A ) -> A = B ) ) )
42	31, 34, 35, 41	syl3c 66	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( A R B /\ B R A ) ) -> A = B )
43	42	ex 450	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( ( A R B /\ B R A ) -> A = B ) )
44	23, 30, 43	3jca 1242	1 |- ( R e. PosetRel -> ( ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) /\ ( A e. U. U. R -> A R A ) /\ ( ( A R B /\ B R A ) -> A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   PosetRelcps 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-res 5126  df-ps 17200

This theorem is referenced by:  psdmrn  17207  psref  17208  psasym  17210  pstr  17211