Theorem asymref2 5513

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
asymref2	|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem asymref2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asymref 5512	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )
2		albiim 1816	. . 3 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
3	2	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
4		r19.26 3064	. . 3 |- ( A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) )
5		ancom 466	. . 3 |- ( ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
6		equcom 1945	. . . . . . . 8 |- ( x = y <-> y = x )
7	6	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) )
8	7	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> A. y ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) )
9		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) )
10		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y R x <-> x R x ) )
11	9, 10	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R x /\ x R x ) ) )
12		anidm 676	. . . . . . . 8 |- ( ( x R x /\ x R x ) <-> x R x )
13	11, 12	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x R x ) )
14	13	equsalvw 1931	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> x R x )
15	8, 14	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> x R x )
16	15	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) <-> A. x e. U. U. R x R x )
17		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
18		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
21	19, 20	opeluu 4939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , y >. e. R -> x e. U. U. R )
23	18, 22	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x R y -> x e. U. U. R )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
25	24	pm2.24d 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> ( -. x e. U. U. R -> x = y ) )
26	25	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
27	26	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
28		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
29	27, 28	ja 173	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
30		ax-1 6	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) -> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
31	29, 30	impbii 199	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
32	31	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
33	17, 32	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
34	16, 33	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( A. x e. U. U. R A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) /\ A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
35	4, 5, 34	3bitri 286	. 2 |- ( A. x e. U. U. R ( A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) /\ A. y ( x = y -> ( x R y /\ y R x ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )
36	1, 3, 35	3bitri 286	1 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( A. x e. U. U. R x R x /\ A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-res 5126

This theorem is referenced by:  pslem  17206  psss  17214