Theorem qtoptop2 21502

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptop2	|- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Proof of Theorem qtoptop2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
2	1	qtopres 21501	. . 3 |- ( F e. V -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
3	2	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) = ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
4		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> J e. Top )
5		funres 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> Fun ( F |` U. J ) )
6	5	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> Fun ( F |` U. J ) )
7		funforn 6122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( F |` U. J ) <-> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) )
9		dmres 5419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( F |` U. J ) = ( U. J i^i dom F )
10		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. J i^i dom F ) C_ U. J
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` U. J ) C_ U. J
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> dom ( F |` U. J ) C_ U. J )
13	1	elqtop 21500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
14	4, 8, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( y C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) ) )
15	14	simprbda 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y C_ ran ( F |` U. J ) )
16		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P ran ( F |` U. J ) <-> y C_ ran ( F |` U. J ) )
17	15, 16	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) )
18	17	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> y e. ~P ran ( F |` U. J ) ) )
19	18	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) )
20		sstr2 3610	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) C_ ~P ran ( F |` U. J ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> x C_ ~P ran ( F |` U. J ) ) )
22		sspwuni 4611	. . . . . . 7 |- ( x C_ ~P ran ( F |` U. J ) <-> U. x C_ ran ( F |` U. J ) )
23	21, 22	syl6ib 241	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x C_ ran ( F |` U. J ) ) )
24		imauni 6504	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) = U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y )
25		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> J e. Top )
26	14	simplbda 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
28		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) )
29	27, 28	mpan9 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
30		iunopn 20703	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> U_ y e. x ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
32	24, 31	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J )
33	32	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) )
34	23, 33	jcad 555	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
35	1	elqtop 21500	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
36	4, 8, 12, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( U. x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " U. x ) e. J ) ) )
37	34, 36	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
38	37	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
39		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( x i^i y ) C_ x
40	1	elqtop 21500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
41	4, 8, 12, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) ) )
42	41	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
43	42	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J ) )
44	43	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> x C_ ran ( F |` U. J ) )
45	39, 44	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) )
46	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> Fun ( F |` U. J ) )
47		inpreima 6342	. . . . . . 7 |- ( Fun ( F |` U. J ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) = ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) )
49	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> J e. Top )
50	43	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J )
51	26	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J )
52		inopn 20704	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( `' ( F |` U. J ) " x ) e. J /\ ( `' ( F |` U. J ) " y ) e. J ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( `' ( F |` U. J ) " x ) i^i ( `' ( F |` U. J ) " y ) ) e. J )
54	48, 53	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J )
55	1	elqtop 21500	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( F |` U. J ) : dom ( F |` U. J ) -onto-> ran ( F |` U. J ) /\ dom ( F |` U. J ) C_ U. J ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
56	4, 8, 12, 55	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) <-> ( ( x i^i y ) C_ ran ( F |` U. J ) /\ ( `' ( F |` U. J ) " ( x i^i y ) ) e. J ) ) )
58	45, 54, 57	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) /\ ( x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) /\ y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
59	58	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) )
60		ovex 6678	. . . 4 |- ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V
61		istopg 20700	. . . 4 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. _V -> ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( J qTop ( F |` U. J ) ) -> U. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) /\ A. x e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) A. y e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ( x i^i y ) e. ( J qTop ( F |` U. J ) ) ) )
63	38, 59, 62	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop ( F |` U. J ) ) e. Top )
64	3, 63	eqeltrd 2701	1 |- ( ( J e. Top /\ F e. V /\ Fun F ) -> ( J qTop F ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699

This theorem is referenced by:  qtoptop  21503