Theorem ralcom2 3104

Description: Commutation of restricted universal quantifiers. Note that x and y need not be disjoint (this makes the proof longer). If x and y are disjoint, then one may use ralcom 3098. (Contributed by NM, 24-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom2	|- ( A. x e. A A. y e. A ph -> A. y e. A A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem ralcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
2	1	sps 2055	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
3	2	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ph ) ) )
4	3	dral1 2325	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. y ( y e. A -> ph ) ) )
5	4	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( A. x x = y -> ( A. y ( y e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
6		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ph <-> A. y ( y e. A -> ph ) )
7		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
8	5, 6, 7	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> ( A. y e. A ph <-> A. x e. A ph ) )
9	2, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( ( x e. A -> A. y e. A ph ) <-> ( y e. A -> A. x e. A ph ) ) )
10	9	dral1 2325	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( A. x ( x e. A -> A. y e. A ph ) <-> A. y ( y e. A -> A. x e. A ph ) ) )
11		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ph ) )
12		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. y e. A A. x e. A ph <-> A. y ( y e. A -> A. x e. A ph ) )
13	10, 11, 12	3bitr4g 303	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. x e. A A. y e. A ph <-> A. y e. A A. x e. A ph ) )
14	13	biimpd 219	. 2 |- ( A. x x = y -> ( A. x e. A A. y e. A ph -> A. y e. A A. x e. A ph ) )
15		nfnae 2318	. . . . 5 |- F/ y -. A. x x = y
16		nfra2 2946	. . . . 5 |- F/ y A. x e. A A. y e. A ph
17	15, 16	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph )
18		nfnae 2318	. . . . . . . 8 |- F/ x -. A. x x = y
19		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x e. A A. y e. A ph
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph )
21		nfcvf 2788	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) -> F/_ x y )
23		nfcvd 2765	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) -> F/_ x A )
24	22, 23	nfeld 2773	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) -> F/ x y e. A )
25	20, 24	nfan1 2068	. . . . . 6 |- F/ x ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) /\ y e. A )
26		rsp2 2936	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A ph -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ph ) )
27	26	ancomsd 470	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A ph -> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ph ) )
28	27	expdimp 453	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ph /\ y e. A ) -> ( x e. A -> ph ) )
29	28	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) /\ y e. A ) -> ( x e. A -> ph ) )
30	25, 29	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) /\ y e. A ) -> A. x e. A ph )
31	30	ex 450	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) -> ( y e. A -> A. x e. A ph ) )
32	17, 31	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. x e. A A. y e. A ph ) -> A. y e. A A. x e. A ph )
33	32	ex 450	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x e. A A. y e. A ph -> A. y e. A A. x e. A ph ) )
34	14, 33	pm2.61i 176	1 |- ( A. x e. A A. y e. A ph -> A. y e. A A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917

This theorem is referenced by:  tz7.48lem  7536  imo72b2  38475  tratrb  38746  tratrbVD  39097