Theorem tratrb 38746

Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 39097. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tratrb	|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem tratrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ x Tr A
2		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y )
3		nfv 1843	. . . 4 |- F/ x B e. A
4	1, 2, 3	nf3an 1831	. . 3 |- F/ x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A )
5		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y Tr A
6		nfra2 2946	. . . . 5 |- F/ y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y )
7		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y B e. A
8	5, 6, 7	nf3an 1831	. . . 4 |- F/ y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A )
9		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. y )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. y ) )
11		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> y e. B )
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> y e. B ) )
13		pm3.2an3 1240	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> ( y e. B -> ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ) )
14	10, 12, 13	syl6c 70	. . . . . 6 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ) )
15		en3lp 8513	. . . . . 6 |- -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x )
16		con3 149	. . . . . 6 |- ( ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) -> -. B e. x ) )
17	14, 15, 16	syl6mpi 67	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> -. B e. x ) )
18		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( y e. x <-> y e. B ) )
19	18	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( x = B -> y e. x ) )
20	12, 19	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> ( x = B -> y e. x ) ) )
21		pm3.2 463	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> ( y e. x -> ( x e. y /\ y e. x ) ) )
22	10, 20, 21	syl10 79	. . . . . 6 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) ) )
23		en2lp 8510	. . . . . 6 |- -. ( x e. y /\ y e. x )
24		con3 149	. . . . . 6 |- ( ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. x ) -> -. x = B ) )
25	22, 23, 24	syl6mpi 67	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> -. x = B ) )
26		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> B e. A )
27		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr A )
28		trel 4759	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr A -> ( ( y e. B /\ B e. A ) -> y e. A ) )
29	28	expd 452	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr A -> ( y e. B -> ( B e. A -> y e. A ) ) )
30	27, 12, 26, 29	ee121 38711	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> y e. A ) )
31		trel 4759	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr A -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
32	31	expd 452	. . . . . . . . 9 |- ( Tr A -> ( x e. y -> ( y e. A -> x e. A ) ) )
33	27, 10, 30, 32	ee122 38712	. . . . . . . 8 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. A ) )
34		ralcom2 3104	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
36		rspsbc2 38744	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> ( x e. A -> ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) )
37	26, 33, 35, 36	ee121 38711	. . . . . . 7 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
38		equid 1939	. . . . . . . 8 |- x = x
39		sbceq1a 3446	. . . . . . . 8 |- ( x = x -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
41	37, 40	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
42		sbcoreleleq 38745	. . . . . . 7 |- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) )
43	42	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) )
44	26, 41, 43	sylsyld 61	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) )
45		3ornot23 38715	. . . . . 6 |- ( ( -. B e. x /\ -. x = B ) -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) )
46	45	ex 450	. . . . 5 |- ( -. B e. x -> ( -. x = B -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) ) )
47	17, 25, 44, 46	ee222 38708	. . . 4 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
48	8, 47	alrimi 2082	. . 3 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
49	4, 48	alrimi 2082	. 2 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
50		dftr2 4754	. 2 |- ( Tr B <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
51	49, 50	sylibr 224	1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [.wsbc 3435   Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-fr 5073

This theorem is referenced by:  ordelordALT  38747  ordelordALTVD  39103