Theorem reu2 3394

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
reu2	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
2	1	eu2 2509	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
3		df-reu 2919	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
5		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
6		19.21v 1868	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. A
8		nfs1v 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [ y / x ] ph
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( y e. A /\ [ y / x ] ph )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		sbequ12 2111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
12	10, 11	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
13	9, 12	sbie 2408	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
14	13	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
15		an4 865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
16	14, 15	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
17	16	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
18		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
19		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
21	20	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
22		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23	22	imbi2i 326	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
24	6, 21, 23	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
25	24	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
26	5, 25	bitr4i 267	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
27	4, 26	anbi12i 733	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
28	2, 3, 27	3bitr4i 292	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   [wsb 1880   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  reu2eqd  3403  disjinfi  39380