Theorem rnmpt2ss 29473

Description: The range of an operation given by the "maps to" notation as a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt2ss.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
rnmpt2ss	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> ran F C_ D )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, D

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem rnmpt2ss

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmpt2ss.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpt2 6770	. . . 4 |- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
3	2	abeq2i 2735	. . 3 |- ( z e. ran F <-> E. x e. A E. y e. B z = C )
4		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. D /\ E. x e. A E. y e. B z = C ) -> A. x e. A A. y e. B C e. D )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. D /\ E. x e. A E. y e. B z = C ) -> E. x e. A E. y e. B z = C )
6	4, 5	r19.29d2r 3080	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. D /\ E. x e. A E. y e. B z = C ) -> E. x e. A E. y e. B ( C e. D /\ z = C ) )
7		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( z e. D <-> C e. D ) )
8	7	biimparc 504	. . . . . . 7 |- ( ( C e. D /\ z = C ) -> z e. D )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( C e. D /\ z = C ) -> z e. D ) )
10	9	rexlimivv 3036	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B ( C e. D /\ z = C ) -> z e. D )
11	6, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. B C e. D /\ E. x e. A E. y e. B z = C ) -> z e. D )
12	11	ex 450	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> ( E. x e. A E. y e. B z = C -> z e. D ) )
13	3, 12	syl5bi 232	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> ( z e. ran F -> z e. D ) )
14	13	ssrdv 3609	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> ran F C_ D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ran crn 5115   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  raddcn  29975  br2base  30331  sxbrsiga  30352