Theorem rnmptbd 39471

Description: Boundness above of the range of a function in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmptbd.x	|- F/ x ph
rnmptbd.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
rnmptbd	|- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rnmptbd

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . 5 |- ( y = w -> ( B <_ y <-> B <_ w ) )
2	1	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( y = w -> ( A. x e. A B <_ y <-> A. x e. A B <_ w ) )
3	2	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. w e. RR A. x e. A B <_ w )
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. w e. RR A. x e. A B <_ w ) )
5		rnmptbd.x	. . 3 |- F/ x ph
6		nfv 1843	. . 3 |- F/ w ph
7		rnmptbd.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
8	5, 6, 7	rnmptbdlem 39470	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. x e. A B <_ w <-> E. w e. RR A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ w ) )
9		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( u <_ w <-> u <_ y ) )
10	9	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( w = y -> ( A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ w <-> A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ y ) )
11		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( u = z -> ( u <_ y <-> z <_ y ) )
12	11	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ y <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( w = y -> ( A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ y <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
14	10, 13	bitrd 268	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ w <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
15	14	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. w e. RR A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ w <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
16	15	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. u e. ran ( x e. A |-> B ) u <_ w <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
17	4, 8, 16	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  supxrre3rnmpt  39656  supminfrnmpt  39672