Theorem rnmptbdlem 39470

Description: Boundness above of the range of a function in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmptbdlem.x	|- F/ x ph
rnmptbdlem.y	|- F/ y ph
rnmptbdlem.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
rnmptbdlem	|- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rnmptbdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptbdlem.x	. . . . 5 |- F/ x ph
2		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x RR
3		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A B <_ y
4	2, 3	nfrex 3007	. . . . 5 |- F/ x E. y e. RR A. x e. A B <_ y
5	1, 4	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
6		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. y e. RR A. x e. A B <_ y ) -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
7	5, 6	rnmptbdd 39456	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. RR A. x e. A B <_ y ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
8	7	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
9		rnmptbdlem.y	. . 3 |- F/ y ph
10		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
11	10	nfrn 5368	. . . . . . . 8 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
12		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x z <_ y
13	11, 12	nfral 2945	. . . . . . 7 |- F/ x A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y
14	1, 13	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) /\ x e. A ) -> x e. A )
16		rnmptbdlem.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
17	16	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. V )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
19	18	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
20	15, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
21		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) /\ x e. A ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
22		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z <_ y <-> B <_ y ) )
23	22	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) -> B <_ y )
24	20, 21, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) /\ x e. A ) -> B <_ y )
25	24	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) -> ( x e. A -> B <_ y ) )
26	14, 25	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) -> A. x e. A B <_ y )
27	26	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y -> A. x e. A B <_ y ) )
28	27	a1d 25	. . 3 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y -> A. x e. A B <_ y ) ) )
29	9, 28	reximdai 3012	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y ) )
30	8, 29	impbid 202	1 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rnmptbd  39471