Theorem rnmptbd2lem 39463

Description: Boundness below of the range of a function in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmptbd2lem.x	|- F/ x ph
rnmptbd2lem.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
rnmptbd2lem	|- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A y <_ B <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   ph, y, z   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, y)   B( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rnmptbd2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B )
5	4	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A z = B )
6	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A y <_ B ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A z = B )
7		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A y <_ B
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x y <_ z
9		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A y <_ B /\ x e. A ) -> y <_ B )
10		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y <_ B /\ z = B ) -> y <_ B )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = B -> z = B )
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = B -> B = z )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y <_ B /\ z = B ) -> B = z )
14	10, 13	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y <_ B /\ z = B ) -> y <_ z )
15	14	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y <_ B -> ( z = B -> y <_ z ) )
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A y <_ B /\ x e. A ) -> ( z = B -> y <_ z ) )
17	16	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A y <_ B -> ( x e. A -> ( z = B -> y <_ z ) ) )
18	7, 8, 17	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A y <_ B -> ( E. x e. A z = B -> y <_ z ) )
19	18	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A y <_ B /\ E. x e. A z = B ) -> y <_ z )
20	19	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A y <_ B ) /\ E. x e. A z = B ) -> y <_ z )
21	6, 20	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A y <_ B ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> y <_ z )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. A y <_ B ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )
23	22	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. A y <_ B -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )
24	23	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A y <_ B -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )
25	24	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. RR A. x e. A y <_ B ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )
26	25	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A y <_ B -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )
27		rnmptbd2lem.x	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
28		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
29	28	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
30	29, 8	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ x A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z
31	27, 30	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )
32		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) /\ x e. A ) -> x e. A )
33		rnmptbd2lem.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
34	33	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) /\ x e. A ) -> B e. V )
35	2	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
37		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) /\ x e. A ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )
38		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( y <_ z <-> y <_ B ) )
39	38	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) -> y <_ B )
40	36, 37, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) /\ x e. A ) -> y <_ B )
41	40	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) -> ( x e. A -> y <_ B ) )
42	31, 41	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) -> A. x e. A y <_ B )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z -> A. x e. A y <_ B ) )
44	43	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z -> A. x e. A y <_ B ) ) )
45	44	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z -> A. x e. A y <_ B ) )
46	45	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z -> E. y e. RR A. x e. A y <_ B ) )
47	26, 46	impbid 202	1 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A y <_ B <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rnmptbd2  39464