Theorem rnmptlb 39453

Description: Boundness below of the range of a function in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptlb.1	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A y <_ B )

Assertion

Ref	Expression
rnmptlb	|- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z   ph, z   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( x)

Proof of Theorem rnmptlb

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptlb.1	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A y <_ B )
2		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( y <_ B <-> w <_ B ) )
3	2	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = w -> ( A. x e. A y <_ B <-> A. x e. A w <_ B ) )
4	3	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. y e. RR A. x e. A y <_ B <-> E. w e. RR A. x e. A w <_ B )
5	1, 4	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. w e. RR A. x e. A w <_ B )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
8	7	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B ) )
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B )
10	9	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A z = B )
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A w <_ B ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A z = B )
12		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A w <_ B
13		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x w <_ z
14		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. A w <_ B /\ x e. A ) -> w <_ B )
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A w <_ B /\ x e. A /\ z = B ) -> w <_ B )
16		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A w <_ B /\ x e. A /\ z = B ) -> z = B )
17	15, 16	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A w <_ B /\ x e. A /\ z = B ) -> w <_ z )
18	17	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A w <_ B -> ( x e. A -> ( z = B -> w <_ z ) ) )
19	12, 13, 18	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A w <_ B -> ( E. x e. A z = B -> w <_ z ) )
20	19	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A w <_ B /\ E. x e. A z = B ) -> w <_ z )
21	20	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A w <_ B ) /\ E. x e. A z = B ) -> w <_ z )
22	11, 21	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A w <_ B ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> w <_ z )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A w <_ B ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z )
24	23	exp31 630	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. RR -> ( A. x e. A w <_ B -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z ) ) )
25	24	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. x e. A w <_ B -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z ) )
26	25	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. x e. A w <_ B -> E. w e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z ) )
27	5, 26	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. w e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z )
28		breq1 4656	. . . 4 |- ( w = y -> ( w <_ z <-> y <_ z ) )
29	28	ralbidv 2986	. . 3 |- ( w = y -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z ) )
30	29	cbvrexv 3172	. 2 |- ( E. w e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) w <_ z <-> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )
31	27, 30	sylib 208	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) y <_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  infnsuprnmpt  39465  infrpgernmpt  39695