Theorem saldifcl 40539

Description: The complement of an element of a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saldifcl	|- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( U. S \ E ) e. S )

Proof of Theorem saldifcl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3722	. . 3 |- ( y = E -> ( U. S \ y ) = ( U. S \ E ) )
2	1	eleq1d 2686	. 2 |- ( y = E -> ( ( U. S \ y ) e. S <-> ( U. S \ E ) e. S ) )
3		issal 40534	. . . . 5 |- ( S e. SAlg -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
4	3	ibi 256	. . . 4 |- ( S e. SAlg -> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) )
5	4	simp2d 1074	. . 3 |- ( S e. SAlg -> A. y e. S ( U. S \ y ) e. S )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> A. y e. S ( U. S \ y ) e. S )
7		simpr 477	. 2 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> E e. S )
8	2, 6, 7	rspcdva 3316	1 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( U. S \ E ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salincl  40543  saluni  40544  saliincl  40545  saldifcl2  40546  intsal  40548  saldifcld  40565