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Theorem salincl 40543
Description: The intersection of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
salincl |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( E i^i F ) e. S )
Proof of Theorem salincl
StepHypRef Expression
1 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( E i^i F ) = ( E i^i F ) )
2 inss1 3833 . . . . . . . 8 |- ( E i^i F ) C_ E
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( E i^i F ) C_ E )
4 elssuni 4467 . . . . . . . 8 |- ( E e. S -> E C_ U. S )
54adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> E C_ U. S )
63, 5sstrd 3613 . . . . . 6 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( E i^i F ) C_ U. S )
7 dfss4 3858 . . . . . 6 |- ( ( E i^i F ) C_ U. S <-> ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) = ( E i^i F ) )
86, 7sylib 208 . . . . 5 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) = ( E i^i F ) )
98eqcomd 2628 . . . 4 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( E i^i F ) = ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) )
1093adant3 1081 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( E i^i F ) = ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) )
11 difindi 3881 . . . . 5 |- ( U. S \ ( E i^i F ) ) = ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) )
1211difeq2i 3725 . . . 4 |- ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) = ( U. S \ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) )
1312a1i 11 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( U. S \ ( U. S \ ( E i^i F ) ) ) = ( U. S \ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) ) )
141, 10, 133eqtrd 2660 . 2 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( E i^i F ) = ( U. S \ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) ) )
15 simp1 1061 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> S e. SAlg )
16 saldifcl 40539 . . . . 5 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( U. S \ E ) e. S )
17163adant3 1081 . . . 4 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( U. S \ E ) e. S )
18 saldifcl 40539 . . . . 5 |- ( ( S e. SAlg /\ F e. S ) -> ( U. S \ F ) e. S )
19183adant2 1080 . . . 4 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( U. S \ F ) e. S )
20 saluncl 40537 . . . 4 |- ( ( S e. SAlg /\ ( U. S \ E ) e. S /\ ( U. S \ F ) e. S ) -> ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) e. S )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) e. S )
22 saldifcl 40539 . . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) e. S ) -> ( U. S \ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) ) e. S )
2315, 21, 22syl2anc 693 . 2 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( U. S \ ( ( U. S \ E ) u. ( U. S \ F ) ) ) e. S )
2414, 23eqeltrd 2701 1 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S /\ F e. S ) -> ( E i^i F ) e. S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436  SAlgcsalg 40528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-salg 40529
This theorem is referenced by:  saldifcl2  40546  salincld  40570
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