Theorem intsal 40548

Description: The arbitrary intersection of sigma-algebra (on the same set X) is a sigma-algebra ( on the same set X, see intsaluni 40547). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
intsal.ga	|- ( ph -> G C_ SAlg )
intsal.gn0	|- ( ph -> G =/= (/) )
intsal.x	|- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s = X )

Assertion

Ref	Expression
intsal	|- ( ph -> |^| G e. SAlg )

Distinct variable groups:   G, s   X, s   ph, s

Proof of Theorem intsal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> ph )
2		intsal.ga	. . . . . . 7 |- ( ph -> G C_ SAlg )
3	2	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> s e. SAlg )
4		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. SAlg ) -> s e. SAlg )
5		0sal 40540	. . . . . . 7 |- ( s e. SAlg -> (/) e. s )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. SAlg ) -> (/) e. s )
7	1, 3, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> (/) e. s )
8	7	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. G (/) e. s )
9		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
10	9	elint2 4482	. . . 4 |- ( (/) e. |^| G <-> A. s e. G (/) e. s )
11	8, 10	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> (/) e. |^| G )
12		intsal.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. s = X )
13		intsal.gn0	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G =/= (/) )
14	2, 13, 12	intsaluni 40547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. |^| G = X )
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X = U. |^| G )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> X = U. |^| G )
17	12, 16	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> U. |^| G = U. s )
18	17	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. G ) -> ( U. |^| G \ y ) = ( U. s \ y ) )
19	18	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. |^| G ) /\ s e. G ) -> ( U. |^| G \ y ) = ( U. s \ y ) )
20	3	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. |^| G ) /\ s e. G ) -> s e. SAlg )
21		elinti 4485	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. |^| G -> ( s e. G -> y e. s ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. |^| G /\ s e. G ) -> y e. s )
23	22	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. |^| G ) /\ s e. G ) -> y e. s )
24		saldifcl 40539	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. SAlg /\ y e. s ) -> ( U. s \ y ) e. s )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. |^| G ) /\ s e. G ) -> ( U. s \ y ) e. s )
26	19, 25	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. |^| G ) /\ s e. G ) -> ( U. |^| G \ y ) e. s )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. |^| G ) -> A. s e. G ( U. |^| G \ y ) e. s )
28		intex 4820	. . . . . . . . . . 11 |- ( G =/= (/) <-> |^| G e. _V )
29	28	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( G =/= (/) -> |^| G e. _V )
30	13, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> |^| G e. _V )
31		uniexg 6955	. . . . . . . . 9 |- ( |^| G e. _V -> U. |^| G e. _V )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. |^| G e. _V )
33		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( U. |^| G e. _V -> ( U. |^| G \ y ) e. _V )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U. |^| G \ y ) e. _V )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. |^| G ) -> ( U. |^| G \ y ) e. _V )
36		elintg 4483	. . . . . 6 |- ( ( U. |^| G \ y ) e. _V -> ( ( U. |^| G \ y ) e. |^| G <-> A. s e. G ( U. |^| G \ y ) e. s ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. |^| G ) -> ( ( U. |^| G \ y ) e. |^| G <-> A. s e. G ( U. |^| G \ y ) e. s ) )
38	27, 37	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. |^| G ) -> ( U. |^| G \ y ) e. |^| G )
39	38	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. |^| G ( U. |^| G \ y ) e. |^| G )
40	3	ad4ant14 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) /\ s e. G ) -> s e. SAlg )
41		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P |^| G -> y C_ |^| G )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~P |^| G /\ s e. G ) -> y C_ |^| G )
43		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. G -> |^| G C_ s )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~P |^| G /\ s e. G ) -> |^| G C_ s )
45	42, 44	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ~P |^| G /\ s e. G ) -> y C_ s )
46		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
47	46	elpw 4164	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P s <-> y C_ s )
48	45, 47	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ~P |^| G /\ s e. G ) -> y e. ~P s )
49	48	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ s e. G ) -> y e. ~P s )
50	49	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) /\ s e. G ) -> y e. ~P s )
51		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) /\ s e. G ) -> y ~<_ om )
52	40, 50, 51	salunicl 40536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) /\ s e. G ) -> U. y e. s )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) -> A. s e. G U. y e. s )
54		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. y e. _V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) -> U. y e. _V )
56		elintg 4483	. . . . . . 7 |- ( U. y e. _V -> ( U. y e. |^| G <-> A. s e. G U. y e. s ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) -> ( U. y e. |^| G <-> A. s e. G U. y e. s ) )
58	53, 57	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) /\ y ~<_ om ) -> U. y e. |^| G )
59	58	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ~P |^| G ) -> ( y ~<_ om -> U. y e. |^| G ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ~P |^| G ( y ~<_ om -> U. y e. |^| G ) )
61	11, 39, 60	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( (/) e. |^| G /\ A. y e. |^| G ( U. |^| G \ y ) e. |^| G /\ A. y e. ~P |^| G ( y ~<_ om -> U. y e. |^| G ) ) )
62		issal 40534	. . 3 |- ( |^| G e. _V -> ( |^| G e. SAlg <-> ( (/) e. |^| G /\ A. y e. |^| G ( U. |^| G \ y ) e. |^| G /\ A. y e. ~P |^| G ( y ~<_ om -> U. y e. |^| G ) ) ) )
63	30, 62	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( |^| G e. SAlg <-> ( (/) e. |^| G /\ A. y e. |^| G ( U. |^| G \ y ) e. |^| G /\ A. y e. ~P |^| G ( y ~<_ om -> U. y e. |^| G ) ) ) )
64	61, 63	mpbird 247	1 |- ( ph -> |^| G e. SAlg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salgencl  40550