Theorem salunicl 40536

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
salunicl.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
salunicl.t	|- ( ph -> T e. ~P S )
salunicl.tct	|- ( ph -> T ~<_ om )

Assertion

Ref	Expression
salunicl	|- ( ph -> U. T e. S )

Proof of Theorem salunicl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salunicl.tct	. 2 |- ( ph -> T ~<_ om )
2		salunicl.t	. . 3 |- ( ph -> T e. ~P S )
3		salunicl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. SAlg )
4		issal 40534	. . . . . 6 |- ( S e. SAlg -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
6	3, 5	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) )
7	6	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) )
8		breq1 4656	. . . . 5 |- ( y = T -> ( y ~<_ om <-> T ~<_ om ) )
9		unieq 4444	. . . . . 6 |- ( y = T -> U. y = U. T )
10	9	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = T -> ( U. y e. S <-> U. T e. S ) )
11	8, 10	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = T -> ( ( y ~<_ om -> U. y e. S ) <-> ( T ~<_ om -> U. T e. S ) ) )
12	11	rspcva 3307	. . 3 |- ( ( T e. ~P S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) -> ( T ~<_ om -> U. T e. S ) )
13	2, 7, 12	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( T ~<_ om -> U. T e. S ) )
14	1, 13	mpd 15	1 |- ( ph -> U. T e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  saliuncl  40542  intsal  40548  smfpimbor1lem1  41005