Theorem pwsal 40535

Description: The power set of a given set is a sigma-algebra (the so called discrete sigma-algebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwsal	|- ( X e. V -> ~P X e. SAlg )

Proof of Theorem pwsal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 4834	. . . 4 |- (/) e. ~P X
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( X e. V -> (/) e. ~P X )
3		unipw 4918	. . . . . . . 8 |- U. ~P X = X
4	3	difeq1i 3724	. . . . . . 7 |- ( U. ~P X \ y ) = ( X \ y )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. V -> ( U. ~P X \ y ) = ( X \ y ) )
6		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( X \ y ) C_ X )
7		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. _V )
8		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( ( X \ y ) e. _V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
10	6, 9	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
11	5, 10	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( U. ~P X \ y ) e. ~P X )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) -> ( U. ~P X \ y ) e. ~P X )
13	12	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( X e. V -> A. y e. ~P X ( U. ~P X \ y ) e. ~P X )
14		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P ~P X -> y C_ ~P X )
15		uniss 4458	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ~P X -> U. y C_ U. ~P X )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ~P X -> U. y C_ U. ~P X )
17	16, 3	syl6sseq 3651	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ~P X -> U. y C_ X )
18		vuniex 6954	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ~P X -> U. y e. _V )
20		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. _V -> ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ~P X -> ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( y e. ~P ~P X -> U. y e. ~P X )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P ~P X ) -> U. y e. ~P X )
24	23	a1d 25	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P ~P X ) -> ( y ~<_ om -> U. y e. ~P X ) )
25	24	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( X e. V -> A. y e. ~P ~P X ( y ~<_ om -> U. y e. ~P X ) )
26	2, 13, 25	3jca 1242	. 2 |- ( X e. V -> ( (/) e. ~P X /\ A. y e. ~P X ( U. ~P X \ y ) e. ~P X /\ A. y e. ~P ~P X ( y ~<_ om -> U. y e. ~P X ) ) )
27		pwexg 4850	. . 3 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
28		issal 40534	. . 3 |- ( ~P X e. _V -> ( ~P X e. SAlg <-> ( (/) e. ~P X /\ A. y e. ~P X ( U. ~P X \ y ) e. ~P X /\ A. y e. ~P ~P X ( y ~<_ om -> U. y e. ~P X ) ) ) )
29	27, 28	syl 17	. 2 |- ( X e. V -> ( ~P X e. SAlg <-> ( (/) e. ~P X /\ A. y e. ~P X ( U. ~P X \ y ) e. ~P X /\ A. y e. ~P ~P X ( y ~<_ om -> U. y e. ~P X ) ) ) )
30	26, 29	mpbird 247	1 |- ( X e. V -> ~P X e. SAlg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salgenval  40541  salgenn0  40549  salgencntex  40561  psmeasure  40688