Theorem smoel 7457

Description: If x is less than y then a strictly monotone function's value will be strictly less at x than at y. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoel	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Proof of Theorem smoel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm 7448	. . . . 5 |- ( Smo B -> Ord dom B )
2		ordtr1 5767	. . . . . . 7 |- ( Ord dom B -> ( ( C e. A /\ A e. dom B ) -> C e. dom B ) )
3	2	ancomsd 470	. . . . . 6 |- ( Ord dom B -> ( ( A e. dom B /\ C e. A ) -> C e. dom B ) )
4	3	expdimp 453	. . . . 5 |- ( ( Ord dom B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
5	1, 4	sylan 488	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> C e. dom B ) )
6		df-smo 7443	. . . . . 6 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x e. y <-> C e. y ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = C -> ( B ` x ) = ( B ` C ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( ( B ` x ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) ) )
11		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( C e. y <-> C e. A ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( B ` y ) = ( B ` A ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( ( B ` C ) e. ( B ` y ) <-> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
14	11, 13	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ( C e. y -> ( B ` C ) e. ( B ` y ) ) <-> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
15	10, 14	rspc2v 3322	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. dom B /\ A e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
16	15	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
17	16	com12 32	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
18	17	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
19	6, 18	sylbi 207	. . . . 5 |- ( Smo B -> ( ( A e. dom B /\ C e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
20	19	expdimp 453	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. dom B -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
21	5, 20	syld 47	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) ) )
22	21	pm2.43d 53	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( C e. A -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) ) )
23	22	3impia 1261	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ C e. A ) -> ( B ` C ) e. ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-tr 4753  df-ord 5726  df-iota 5851  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smoiun  7458  smoel2  7460