Theorem specval 28757

Description: The value of the spectrum of an operator. (Contributed by NM, 11-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
specval	|- ( T : ~H --> ~H -> ( Lambda ` T ) = { x e. CC | -. ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } )

Distinct variable group:   x, T

Proof of Theorem specval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10017	. . 3 |- CC e. _V
2	1	rabex 4813	. 2 |- { x e. CC | -. ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } e. _V
3		ax-hilex 27856	. 2 |- ~H e. _V
4		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( t = T -> ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) = ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) )
5		f1eq1 6096	. . . . 5 |- ( ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) = ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) -> ( ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H <-> ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( t = T -> ( ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H <-> ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H ) )
7	6	notbid 308	. . 3 |- ( t = T -> ( -. ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H <-> -. ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H ) )
8	7	rabbidv 3189	. 2 |- ( t = T -> { x e. CC | -. ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } = { x e. CC | -. ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } )
9		df-spec 28714	. 2 |- Lambda = ( t e. ( ~H ^m ~H ) |-> { x e. CC | -. ( t -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } )
10	2, 3, 3, 8, 9	fvmptmap 7894	1 |- ( T : ~H --> ~H -> ( Lambda ` T ) = { x e. CC | -. ( T -op ( x .op ( _I |` ~H ) ) ) : ~H -1-1-> ~H } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   {crab 2916   _I cid 5023   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   .op chot 27796   -op chod 27797   Lambdacspc 27818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-hilex 27856

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-spec 28714

This theorem is referenced by:  speccl  28758