Theorem f1eq1 6096

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 6026	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 5296	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5910	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 747	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5893	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5893	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 303	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893

This theorem is referenced by:  f1oeq1  6127  f1eq123d  6131  fo00  6172  f1prex  6539  fun11iun  7126  tposf12  7377  oacomf1olem  7644  f1dom2g  7973  f1domg  7975  dom3d  7997  domtr  8009  domssex2  8120  1sdom  8163  marypha1lem  8339  fseqenlem1  8847  dfac12lem2  8966  dfac12lem3  8967  ackbij2  9065  fin23lem28  9162  fin23lem32  9166  fin23lem34  9168  fin23lem35  9169  fin23lem41  9174  iundom2g  9362  pwfseqlem5  9485  hashf1lem1  13239  hashf1lem2  13240  hashf1  13241  4sqlem11  15659  conjsubgen  17693  sylow1lem2  18014  sylow2blem1  18035  hauspwpwf1  21791  istrkg2ld  25359  axlowdim  25841  sizusglecusg  26359  specval  28757  aciunf1lem  29462  zrhchr  30020  qqhre  30064  eldioph2lem2  37324  meadjiunlem  40682