Theorem stoweidlem15 40232

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 from [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 ≤ p ≤ 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here ( G ` I ) is used to represent p_(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem15.1	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem15.3	|- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem15.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem15	|- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> ( ( ( G ` I ) ` S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )

Distinct variable groups:   A, f   f, G   f, I   T, f   ph, f   t, h, G   A, h   h, I, t   T, h, t   h, Z

Allowed substitution hints:   ph( t, h)   A( t)   Q( t, f, h)   S( t, f, h)   M( t, f, h)   Z( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem15

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
2		stoweidlem15.3	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> Q )
3	2	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` I ) e. Q )
4		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( ( G ` I ) e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } -> ( G ` I ) e. A )
5		stoweidlem15.1	. . . . . 6 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( ( G ` I ) e. Q -> ( G ` I ) e. A )
7	3, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` I ) e. A )
8		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( f = ( G ` I ) -> ( f e. A <-> ( G ` I ) e. A ) )
9	8	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( f = ( G ` I ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` I ) e. A ) ) )
10		feq1 6026	. . . . . . 7 |- ( f = ( G ` I ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` I ) : T --> RR ) )
11	9, 10	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( f = ( G ` I ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` I ) e. A ) -> ( G ` I ) : T --> RR ) ) )
12		stoweidlem15.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
13	11, 12	vtoclg 3266	. . . . 5 |- ( ( G ` I ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` I ) e. A ) -> ( G ` I ) : T --> RR ) )
14	7, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ph /\ ( G ` I ) e. A ) -> ( G ` I ) : T --> RR ) )
15	1, 7, 14	mp2and 715	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` I ) : T --> RR )
16	15	ffvelrnda 6359	. 2 |- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> ( ( G ` I ) ` S ) e. RR )
17	3, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` I ) e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
18		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( G ` I ) -> ( h ` Z ) = ( ( G ` I ) ` Z ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( G ` I ) -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( ( G ` I ) ` Z ) = 0 ) )
20		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( G ` I ) -> ( h ` t ) = ( ( G ` I ) ` t ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( G ` I ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) ) )
22	20	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( G ` I ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) )
23	21, 22	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( G ` I ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( G ` I ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) )
25	19, 24	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( h = ( G ` I ) -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( ( G ` I ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) ) )
26	25	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( G ` I ) e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( ( G ` I ) e. A /\ ( ( ( G ` I ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) ) )
27	17, 26	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G ` I ) e. A /\ ( ( ( G ` I ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) ) )
28	27	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( G ` I ) ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) )
29	28	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( s = t -> ( ( G ` I ) ` s ) = ( ( G ` I ) ` t ) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) <-> 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) ) )
32	30	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 <-> ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) )
33	31, 32	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) /\ ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) ) )
34	33	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. s e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) /\ ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( G ` I ) ` s ) = ( ( G ` I ) ` S ) )
36	35	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) <-> 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) ) )
37	35	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 <-> ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )
38	36, 37	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) /\ ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) ) )
39	38	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. s e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` s ) /\ ( ( G ` I ) ` s ) <_ 1 ) /\ S e. T ) -> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )
40	34, 39	sylanbr 490	. . . 4 |- ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` t ) /\ ( ( G ` I ) ` t ) <_ 1 ) /\ S e. T ) -> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )
41	29, 40	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> ( 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )
42	41	simpld 475	. 2 |- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) )
43	41	simprd 479	. 2 |- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 )
44	16, 42, 43	3jca 1242	1 |- ( ( ( ph /\ I e. ( 1 ... M ) ) /\ S e. T ) -> ( ( ( G ` I ) ` S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` I ) ` S ) /\ ( ( G ` I ) ` S ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  stoweidlem30  40247  stoweidlem38  40255  stoweidlem44  40261