Theorem stoweidlem44 40261

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem44.1	|- F/ j ph
stoweidlem44.2	|- F/ t ph
stoweidlem44.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem44.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem44.5	|- P = ( t e. T |-> ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem44.6	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem44.7	|- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem44.8	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) E. j e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( G ` j ) ` t ) )
stoweidlem44.9	|- T = U. J
stoweidlem44.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem44.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem44.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem44.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem44.14	|- ( ph -> Z e. T )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem44	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, i, t, G   f, j, i, t, G   A, f, g   f, M, g, i, t   T, f, g, i, t   ph, f, g, i   h, i, j, t, G   A, h   T, h, j   h, Z, i, t   x, j, M, t   U, j   t, p, T   A, p   P, p   U, p   Z, p   x, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, h, j, p)   A( t, i, j)   P( x, t, f, g, h, i, j)   Q( x, t, f, g, h, i, j, p)   U( x, t, f, g, h, i)   G( x, p)   J( x, t, f, g, h, i, j, p)   K( x, t, f, g, h, i, j, p)   M( h, p)   Z( x, f, g, j)

Proof of Theorem stoweidlem44

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem44.2	. . . 4 |- F/ t ph
2		stoweidlem44.5	. . . 4 |- P = ( t e. T |-> ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( t e. T |-> ( 1 / M ) ) = ( t e. T |-> ( 1 / M ) )
5		stoweidlem44.6	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnrecred 11066	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
7		stoweidlem44.7	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> Q )
8		stoweidlem44.4	. . . . . 6 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
9		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } C_ A
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . . 5 |- Q C_ A
11		fss 6056	. . . . 5 |- ( ( G : ( 1 ... M ) --> Q /\ Q C_ A ) -> G : ( 1 ... M ) --> A )
12	7, 10, 11	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> A )
13		stoweidlem44.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
14		stoweidlem44.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem44.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
16		stoweidlem44.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
17		stoweidlem44.9	. . . . 5 |- T = U. J
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
19		stoweidlem44.10	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
20	19	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( J Cn K ) )
21	16, 17, 18, 20	fcnre 39184	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 21	stoweidlem32 40249	. . 3 |- ( ph -> P e. A )
23	8, 2, 5, 7, 21	stoweidlem38 40255	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
24	23	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) ) )
25	1, 24	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
26		stoweidlem44.14	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
27	8, 2, 5, 7, 21, 26	stoweidlem37 40254	. . . 4 |- ( ph -> ( P ` Z ) = 0 )
28		stoweidlem44.1	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
29		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j t e. ( T \ U )
30	28, 29	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ t e. ( T \ U ) )
31		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j 0 < ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
32		stoweidlem44.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) E. j e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( G ` j ) ` t ) )
33	32	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. j e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( G ` j ) ` t ) )
34		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. j e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( G ` j ) ` t ) <-> E. j ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. j ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) )
36	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( 1 / M ) e. RR )
37		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ph )
38		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( T \ U ) -> t e. T )
39	38	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> t e. T )
40		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 ... M ) e. Fin )
41	8, 7, 21	stoweidlem15 40232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` i ) ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` i ) ` t ) /\ ( ( G ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
42	41	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( G ` i ) ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` i ) ` t ) /\ ( ( G ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
43	42	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
44	40, 43	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
45	37, 39, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
46	5	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
47	5	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < M )
48	46, 47	recgt0d 10958	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 1 / M ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < ( 1 / M ) )
50		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 e. RR )
51		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> j e. ( 1 ... M ) )
52	37, 51, 39	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) )
53		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { j } e. Fin
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> { j } e. Fin )
55		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> ph )
56		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> t e. T )
57		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. { j } -> i = j )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> i = j )
59		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> j e. ( 1 ... M ) )
60	58, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> i e. ( 1 ... M ) )
61	55, 56, 60, 43	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. { j } ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
62	54, 61	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
64	50, 63	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( 0 + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) e. RR )
65		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... M ) e. Fin
66		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... M ) e. Fin -> ( ( 1 ... M ) \ { j } ) e. Fin )
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( 1 ... M ) \ { j } ) e. Fin )
68		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) -> i e. ( 1 ... M ) )
69	68, 43	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
70	67, 69	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
71	37, 39, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
72	71, 63	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) e. RR )
73		00id 10211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 0 ) = 0
74		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < ( ( G ` j ) ` t ) )
75	8, 7, 21	stoweidlem15 40232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> ( ( ( G ` j ) ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` j ) ` t ) /\ ( ( G ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
76	75	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` j ) ` t ) e. RR )
77	37, 51, 39, 76	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( ( G ` j ) ` t ) e. RR )
78	77	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( ( G ` j ) ` t ) e. CC )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = j -> ( G ` i ) = ( G ` j ) )
80	79	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = j -> ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` j ) ` t ) )
81	80	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 1 ... M ) /\ ( ( G ` j ) ` t ) e. CC ) -> sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` j ) ` t ) )
82	51, 78, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` j ) ` t ) )
83	74, 82	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) )
84	50, 63, 50, 83	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( 0 + 0 ) < ( 0 + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
85	73, 84	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < ( 0 + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
86		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> 0 e. RR )
87	70	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
88		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> ph )
89	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
90		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> t e. T )
91	88, 89, 90, 41	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> ( ( ( G ` i ) ` t ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ` i ) ` t ) /\ ( ( G ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
92	91	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ) -> 0 <_ ( ( G ` i ) ` t ) )
93	67, 69, 92	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) )
94	93	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) )
95	86, 87, 62, 94	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( 0 + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) <_ ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
96	52, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> ( 0 + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) <_ ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
97	50, 64, 72, 85, 96	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
98		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) -> -. x e. { j } )
99		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) -> -. x e. { j } ) <-> -. ( x e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) /\ x e. { j } ) )
100	98, 99	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. ( x e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) /\ x e. { j } )
101		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) i^i { j } ) <-> ( x e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) /\ x e. { j } ) )
102	100, 101	mtbir 313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. x e. ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) i^i { j } )
103	102	nel0 3932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) i^i { j } ) = (/)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) i^i { j } ) = (/) )
105		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) u. { j } ) = ( ( 1 ... M ) u. { j } )
106		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> { j } C_ ( 1 ... M ) )
107	106	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> { j } C_ ( 1 ... M ) )
108		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { j } C_ ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 ... M ) u. { j } ) = ( 1 ... M ) )
109	107, 108	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( 1 ... M ) u. { j } ) = ( 1 ... M ) )
110	105, 109	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( 1 ... M ) = ( ( ( 1 ... M ) \ { j } ) u. { j } ) )
111		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( 1 ... M ) e. Fin )
112	43	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
113	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. CC )
114	104, 110, 111, 113	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
115	52, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( sum_ i e. ( ( 1 ... M ) \ { j } ) ( ( G ` i ) ` t ) + sum_ i e. { j } ( ( G ` i ) ` t ) ) )
116	97, 115	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
117	36, 45, 49, 116	mulgt0d 10192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) /\ ( j e. ( 1 ... M ) /\ 0 < ( ( G ` j ) ` t ) ) ) -> 0 < ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
118	30, 31, 35, 117	exlimdd 2088	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 < ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
119	8, 2, 5, 7, 21	stoweidlem30 40247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( P ` t ) = ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
120	38, 119	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( P ` t ) = ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
121	118, 120	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 0 < ( P ` t ) )
122	121	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( T \ U ) -> 0 < ( P ` t ) ) )
123	1, 122	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) )
124	25, 27, 123	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ ( P ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) )
125		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( p e. A <-> P e. A ) )
126		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( 1 / M ) x. sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
127	2, 126	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ t P
128	127	nfeq2 2780	. . . . . . . 8 |- F/ t p = P
129		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( p = P -> ( p ` t ) = ( P ` t ) )
130	129	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( p = P -> ( 0 <_ ( p ` t ) <-> 0 <_ ( P ` t ) ) )
131	129	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( p = P -> ( ( p ` t ) <_ 1 <-> ( P ` t ) <_ 1 ) )
132	130, 131	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) ) )
133	128, 132	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) ) )
134		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( p ` Z ) = ( P ` Z ) )
135	134	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( ( p ` Z ) = 0 <-> ( P ` Z ) = 0 ) )
136	129	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( 0 < ( p ` t ) <-> 0 < ( P ` t ) ) )
137	128, 136	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) )
138	133, 135, 137	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ ( P ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) ) )
139	125, 138	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( p = P -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) <-> ( P e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ ( P ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) ) ) )
140	139	spcegv 3294	. . . 4 |- ( P e. A -> ( ( P e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ ( P ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) ) -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) )
141	22, 140	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( P e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) /\ ( P ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( P ` t ) ) ) -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) )
142	22, 124, 141	mp2and 715	. 2 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
143		df-rex 2918	. 2 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
144	142, 143	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   sum_csu 14416   topGenctg 16098   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  40270