Theorem stoweidlem16 40233

Description: Lemma for stoweid 40280. The subset Y of functions in the algebra A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem16.1	|- F/ t ph
stoweidlem16.2	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem16.3	|- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
stoweidlem16.4	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem16.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem16	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   T, f, h, t   ph, f   h, H

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   T( g)   H( t, f, g)   Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem16.3	. . . 4 |- H = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
2		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ph )
3		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
4	3	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
5	3	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
6	4, 5	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
8		stoweidlem16.2	. . . . . . . 8 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	7, 8	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( f e. Y <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
10	9	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> f e. A )
12		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
13	12	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
14	12	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
17	16, 8	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( g e. Y <-> ( g e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
18	17	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( g e. Y -> g e. A )
19	18	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g e. A )
20		stoweidlem16.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	2, 11, 19, 20	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	1, 21	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. A )
23		stoweidlem16.1	. . . . 5 |- F/ t ph
24		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
25		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
26	24, 25	nfrab 3123	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
27	8, 26	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t Y
28	27	nfcri 2758	. . . . 5 |- F/ t f e. Y
29	27	nfcri 2758	. . . . 5 |- F/ t g e. Y
30	23, 28, 29	nf3an 1831	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y )
31	2, 11	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ f e. A ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ f e. A ) )
33		stoweidlem16.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> f : T --> RR )
35		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> t e. T )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) e. RR )
37	2, 19	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( ph /\ g e. A ) )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f e. A <-> g e. A ) )
39	38	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ g e. A ) ) )
40		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : T --> RR <-> g : T --> RR ) )
41	39, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) ) )
42	41, 33	vtoclg 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A -> ( ( ph /\ g e. A ) -> g : T --> RR ) )
43	19, 37, 42	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> g : T --> RR )
44	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) e. RR )
45	9	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
47	46	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) )
48	47	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( f ` t ) )
49	17	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. Y -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
50	49	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
51	50	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) )
52	51	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( g ` t ) )
53	36, 44, 48, 52	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
54	36, 44	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR )
55	1	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
56	35, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
57	53, 56	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
58		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
59	47	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( f ` t ) <_ 1 )
60	51	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( g ` t ) <_ 1 )
61	36, 58, 44, 58, 48, 52, 59, 60	lemul12ad 10966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
62		1t1e1 11175	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
63	61, 62	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) <_ 1 )
64	56, 63	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( H ` t ) <_ 1 )
65	57, 64	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
66	65	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
67	30, 66	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) )
68		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
69	1, 68	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t H
70	69	nfeq2 2780	. . . . 5 |- F/ t h = H
71		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h ` t ) = ( H ` t ) )
72	71	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( H ` t ) ) )
73	71	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( H ` t ) <_ 1 ) )
74	72, 73	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
75	70, 74	ralbid 2983	. . . 4 |- ( h = H -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
76	75	elrab 3363	. . 3 |- ( H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( H e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( H ` t ) /\ ( H ` t ) <_ 1 ) ) )
77	22, 67, 76	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
78	77, 8	syl6eleqr 2712	1 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> H e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  40265  stoweidlem51  40268